2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题 一、选择题
1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2
，
2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC， 过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论： ①OA＝BC＝2
；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，
，0）．其中正
∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（确结论的个数是（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质
【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2）， ∴OA＝BC＝2
；故①正确；
②∵点D为OA的中点， ∴OD＝
2
OA＝
2
2
，
2
2
2
∴PC+PD＝CD＝OC+OD＝2+（）＝7，故②正确；
2
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E， ∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形， ∴EF＝OC＝2，
设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a， 在Rt△BEP中，tan∠CBO＝∴BE＝
PE＝
a， ﹣
a＝
（2﹣a）， ＝
＝
，
∴CE＝BC﹣BE＝2∵PD⊥PC，
∴∠CPE+∠FPD＝90°，
1
∵∠CPE+∠PCE＝90°， ∴∠FPD＝∠ECP， ∵∠CEP＝∠PFD＝90°， ∴△CEP∽△PFD， ∴＝，
∴
＝
，
∴FD＝
，
∴tan∠PDC＝
＝
＝
，
∴∠PDC＝60°，故③正确； ④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2
，AB＝2，
∵tan∠AOB＝
＝
，
∴∠AOB＝30°，
当△ODP为等腰三角形时， Ⅰ、OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30°， ∴∠ODP＝60°， ∴∠ODC＝60°， ∴OD＝
OC＝
，
Ⅱ、OP＝OD，
∴∠ODP＝∠OPD＝75°， ∵∠COD＝∠CPD＝90°，
∴∠OCP＝105°＞90°，故不合题意舍去；Ⅲ、OP＝PD，
∴∠POD＝∠PDO＝30°，
∴∠OCP＝150°＞90°故不合题意舍去，
2
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（故选：D． 二、解答题
，0）．故④正确，
1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线y??x2?bx?c的对称轴为直线x=1，其图像与
x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)。
（1）求b，c的值；
（2）直线l与x轴交于点P。
①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E、F，点C关于直线
x?1的对称点为D，求四边形CEDF面积的最大值；
②如图2，若直线l与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△ CAP时，求直线l的表达式。
【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解：（1）由题可知
?b?1?b?2?? ??2 解得?
?c?3??c?3（2）①由题可知D(2,3)，CD?EF ∴CD?2
由（1）可知A(3,0)，B(?1,0) ∴lAC：y??x?3
设F(e,?e2?2e?3)，则E(e,?e?3) ∴EF??e2?3e
3
2019年全国中考数学真题分类汇编：代数几何综合压轴题(2019年中考真题)
