二是依据三角函数值求角时要注意确定角的范围的技巧。 【练25】（1）在三角形ABC中，已知sin答案：arccos35A?,cosB?，求三角形的内角C的大小。
51316（提示确定已知角的余弦值，并结合已知条件确定角A的范围） 65（2）已知cos（α＋
3??）＝,≤α452??＜
3?2，求cos（2α＋
?4
）的值.
答案：cos?2?+????????312=－?cos2???????504?4?4????【易错点26】对正弦型函数
y?Asin??x???及余弦型函数y?Acos??x???的性质：如图象、
对称轴、对称中心易遗忘或没有深刻理解其意义。 例26、如果函数
y?sin2x?acos2x的图象关于直线x???8对称，那么a等于（ ）
A.
2 B.－2 C.1 D.－1
y?Asin??x???的对称轴一定经过图象的波峰顶或波谷底，且与y轴平行，而
??【易错点分析】函数
对称中心是图象与x轴的交点，学生对函数的对称性不理解误认为当x解析：（法一）函数的解析式可化为
?8时，y=0，导致解答出错。
y?a2?1sin?2x???，故y的最大值为a2?1，依题意，
直线x???8是函数的对称轴，则它通过函数的最大值或最小值点即
??????sin????acos????4??4??a2?1，解得a??1.故选D
（法二）依题意函数为
y?a2?1sin?2x?arctana?,直线x???8是函数的对称轴,故有
?3????2?????arctana?k??,k?z，即：arctana?k??24?8?故arctana，而arctana???????,? 22?????4，从而a??1故选D.
（法三）若函数关于直线x???8是函数的对称则必有
???f?0??f???，代入即得a??1。
?4?【知识点归类点拔】对于正弦型函数
y?Asin??x???及余弦型函数y?Acos??x???它们有无
穷多条对称轴及无数多个对称中心，它们的意义是分别使得函数取得最值的x值和使得函数值为零的x值，这是它们的几何和代数特征。希望同学们认真学习本题的三种解法根据具体问题的不同灵活处理。
21
【练26】（1）已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0????)上R上的偶函数，其图象关于点M(对称，且在区间[0,3?,0)4?2?2答案：??,??或2。
23（2）设函数的
]上是单调函数，求?和ω的值.
f?x??sin?2x???????????，y?f?x?图象的一条对称轴是直线
3?4
x??8，求? 答案：?=?【易错点27】利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数。
例27、在?ABC中，B?30?,AB?23,AC?2。求?ABC的面积
【易错点分析】根据三角形面积公式，只需利用正弦定理确定三角形的内角C，则相应的三角形内角A即可确定再利用s?1但由于正弦函数在区间?0,??内不严格格单调所以满足条件的?bcsinA即可求得。
2232ABAC?即?sinCsinBsinCsin30?32角可能不唯一，这时要借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。
得sinC解析：根据正弦定理知：
?，由于
ABsin30??AC?AB即满足条件的三角形有两个故C?60?或120?.则A?30?或90?故相应
的三角形面积为s?11?23?2?sin30??3或?23?2?23. 22【知识点归类点拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题（1）已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。（2）已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间
?0,??内不严格格单调，此时
三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。如：在?ABC中，已知a,b和A解的情况如下：
（1） 当A为锐角
（2）若A为直角或钝角
22
【练27】（2001全国）如果满足?ABC范围是（）A、8答案：D
?60?，AC?2，BC?k的三角表恰有一个那么k的取值
3B、0?k?12C、k?12D、0?k?12或k?83 【易错点28】三角形中的三角函数问题。对三角变换同三角形边、角之间知识的结合的综合应用程度不够。 例28、（1）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小. 【易错点分析】本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。 解法一 由sinA(sinB?cosB)?sinC?0得sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0.
所以sinAsinB?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB因为B?(0,?),所以sinB?0.即sinB(sinA?cosA)?0.
从而cosA?sinA.由A?(0,?),知A??0，
?3.从而B?C??.44由sinB?cos2C?0得sinB?cos2(由此得cosB3??B)?0.即sinB?sin2B?0.亦即sinB?2sinBcosB?0.41?5???5?,B?,C?.所以A?,B?,C?. 231243123?解法二：由sinB?cos2C?0得sinB??cos2C?sin(?2C).由0?B、c???2，所以
B?3??3???2C或B?2C?.即B?2C?或2C?B?.由2222sinA(sinB?cosB)?sinC?0得 sinAsinB?sinAcosB?sin(A?B)?0.
所以sinAsinB?sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB因为sinB?0. 即sinB(sinA?cosA)?0.33?不.从而B?C??，知B+2C=
4421?5???5?合要求.再由2C?B??，得B?,C?.所以A?,B?,C?.
23124312cosBb2、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且??. （Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）
cosC2a?c?0，所以cosA?sinA.由A?(0,?),知A??若b?13,a?c?4，求△ABC的面积.
abc???2R得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC.将sinAsinBsinC【思维分析】根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。 （Ⅰ）解法一：由正弦定理
上式代入已知
cosBbcosBsinB??得??.即cosC2a?ccosC2sinA?sinC，
2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0.2sinAcosB?sin(B?C)?0.故A+B+C=?2?sin(B?C)?sinA.?2sinAcosB?sinA?0.?sinA?0,?cosB??1.?B为三角形的内
23
角，?B?2?.
3a2?c2?b2b2?c2?a2,cosC?解法二：由余弦定理得cosB?2ac2bccosBba2?c2?b22abb??得?222??. 整理得a2cosC2a?c2aca?b?c2a?c将上式代入
?c2?b2??ac.
2a2?c2?b2?ac1?cosB????.?B为三角形的内角，?B??.
2ac2ac23（Ⅱ）将b2222?13,a?c?4,B??代入余弦定理b?a?c?2accosB得
3113b2?(a?c)2?2ac?2accosB,?13?16?2ac(1?).?ac?3.?S?ABC?acsinB?3.
224【知识点归类点拔】三角形中的三角函数问题一直是高考的热点内容之一。对正余弦定理的考查主要涉及三角形的边角互化（如判断三角形的形状等，利用正、余弦定理将条件中含有的边和角的关系转化为边或角的关系是解三角形的常规思路），三角形内的三角函数求值、三角恒等式的证明、三角形外接圆的半径等都体现了三角函数知识与三角形知识的交汇，体现了高考命题的原则。
【练28】（1）在?ABC中，a，b，c分别是?A，?B，?C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且
a2?c2?ac?bc，求?A的大小及
答案：?A?bsinB的值。 c60?，
bsinB3?c2
（2）（2005天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件b2?c2?bc?a2和
c1??3。求∠A和tanB的值。 b2答案：?A?60?，tanB?1 2【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。 例29、解关于x的不等式
a(x?1)＞1(a≠1). x?2【易错点分析】将不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论，导致错解。
(a?1)x?(2?a)＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.
x?2a?2a?2a?2当a＞1时，原不等式与(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1时，原不等式无解；若
a?1a?1a?1a?2＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1时原不等式的解为(－∞，)∪(2，+∞).
a?1a?2a?2当a＜1时，若a＜0，解集为(，2)；若0＜a＜1，解集为(2，)
a?1a?1a?2a?2综上所述：当a＞1时解集为(－∞，)∪(2，+∞)；当0＜a＜1时，解集为(2，)；当a=0时，
a?1a?1a?2解集为?；当a＜0时，解集为(，2).
a?1解：原不等式可化为：
24
【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法.
(2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法.
(5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论.
【练29】已知函数
x2f(x)?(a,b为常数）,且方程f(x)?x?12?0有两个实根为
ax?bx1?3,x2?4.
（1）求函数
（2）设k?1,解关于x的不等式：f(x)?f(x)的解析式；
(k?1)x?k2?x
答案：
x2f(x)?(x?2).①当1?k?2时,解集为(1,k)(2,??);②当k?2时,不等式为
2?x(x?2)2(x?1)?0解集为(1,2)(2,??);③当k?2时,解集为(1,2)(k,??).
【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位 例30、已知函数
22f?x??lg?m?3m?2x?2?m?1?x?5?????（1）如果函数f?x?的定义域为
R求实数m的取值范围。（2）如果函数【易错点分析】此题学生易忽视对m2f?x?的值域为R求实数m的取值范围。
?3m?2是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面
对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。 解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值成立，令g?m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5?0恒
?x???m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5，当m2?3m?2=0时，即m?1或2。经
验证当m?1时适合，当m2?3m?2?0时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需
?m2?3m?2?099解之得或综上所知m的取值范围为或。 m?m?m?1m?1?44??0?（2）如果函数数，令g当m?f?x?的值域为R即对数的真数?m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5能取到任意的正
?x???m2?3m?2?x2?2?m?1?x?5当m2?3m?2=0时，即m?1或2。经验证
2时适合，当m2?3m?2?0时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需
?m2?3m?2?099解之得2?m?综上可知满足题意的m的取值范围是2?m?。 ?44???0
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2014高考数学高分突破精品教案(吴军高分系统内部资料)
