第31课 基本不等式及其应用
普查讲31Ⅰ 基本不等式及其应用易错点
1.基本不等式的应用易错点 (1)(2019汇编,5分)下列说法中: 1
x2＋?>lg x； ①当x>0时,lg?4??②当x∈R时,x2＋1≥2|x|； 112
③当ab>0时,＋>；
abab④当a>0,b>0时,a2＋b2>4ab－3b2； 2
⑤当a>0,b>0时,ab＋>2；
abb2
⑥当a≠b且a<0时,a<2b－,
a正确的有__________________(填序号). 答案:②⑤⑥
111
x2＋?＝lg＝lgx. 【解析】:①错误:忽略了等号.x＝时,lg?4??22
②正确:当x＝0时,左边＝1＞右边＝0,不等式成立；当x≠0时,x2>0,由基本不等式得x2＋
1≥2x2·1＝2|x|.综上,x2＋1≥2|x|正确.
112112
③错误:忽略了等号和正负.当a＝b>0时,＋＝；当a<0,b<0时,＋<0<. abababab④错误:忽略了等号.a2＋b2－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0,当a＝2b时,a2＋b2
＝4ab－3b2.
2
⑤正确:∵a>0,b>0,∴ab>0,由基本不等式得ab＋≥2
ab⑥正确:用作差法比较. ∵a≠b且a<0,
bba－2ab＋b（a－b）2b－?＝a－2b＋＝∴a－?＝<0. a??aaa
(2)(经典题,5分)求函数y＝x2＋4＋5答案:
2
解:令t＝x2＋4,则t≥2,
11
∴y＝x2＋4＋2＝t＋(t≥2).(2分)
tx＋4
2
11t－1
设f(t)＝t＋,t≥2,∵f ′(t)＝1－2＝2,(3分)
ttt
2
2
2
2
2
2ab·＝22>2. ab
1
的最小值. x2＋4
∴当t≥2时, f ′(t)>0,
1
∴函数f(t)＝t＋在[2,＋∞)上单调递增,(4分)
t5
∴ymin＝f(2)＝.(5分)
2
a4＋4b4＋1
(3)(2019改编,5分)若a,b∈R,ab>0,求的最小值.
ab答案:4 解:∵ab>0,
44??a＝4b，a4＋4b4＋12a4·4b4＋14a2b2＋124a2b2·1
∴≥＝≥＝4,当且仅当?22
abababab?4ab＝1，?
1
即a2＝2b2,ab＝时,等号成立,
2a4＋4b4＋1∴的最小值为4.(5分)
ab
(4)(经典题,5分)当x∈(0,1)时,求y＝lnx＋答案:－22
解:∵x∈(0,1),∴lnx<0,∴y＝lnx＋
22＝－(－lnx＋)≤－2lnx－lnx
22
的最大值. lnx
2
（－lnx）·＝－22,
－lnx
2－
当且仅当－lnx＝且x∈(0,1),即x＝e
－lnx
时取等号,
2
∴x∈(0,1)时,y＝lnx＋的最大值为－22.(5分)
lnx
随堂普查练31 Ⅰ
1.(2019原创,5分)下列结论中正确的个数是( ) 1
①若a>0,则a2＋的最小值是2a；
a
②函数f(x)＝sin2x（3＋cos2x）的最大值是2；
1
③函数f(x)＝x＋的值域是[2,＋∞)；
x
④对任意的实数a,b均有a2＋b2≥－2ab,其中等号成立的条件是a＝－b. A.0 B.1 C.2 D.3 答案:B
1
【解析】:①错误:设f(a)＝a2＋,其中a是自变量,
a2a也是变化的,不能说2a是f(a)的最小值； sin2x＋3＋cos2x
②错误: f(x)＝sinx（3＋cosx）≤＝2,
2
22当且仅当sin2x＝3＋cos2x时取等号,此方程无解, ∴等号取不到,2不是f(x)的最大值； 1
③错误:当x>0时,x＋≥2x11
＋＝－?－x＋－x?≤－2x??
11
x·＝2,当且仅当x＝,即x＝1时取等号；当x<0时,－x>0,xxx
11
（－x）·＝－2,当且仅当－x＝－,即x＝－1时取等号.
x－x
1
∴f(x)＝x＋的值域是(－∞,－2]∪[2,＋∞)；
x
④正确:利用作差法进行判断.∵a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2≥0,∴a2＋b2≥－2ab,其中等号成立的条件是a＋b＝0,即a＝－b.
2.(2015陕西,5分)设f(x)＝lnx,0 A.q＝r p D.p＝r>q 答案:B 111 【解析】:∵r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln(ab)＝lnab,p＝f(ab)＝lnab,∴p＝r. 222∵q＝f ? a＋ba＋b?＝ln,且0 2?2?a＋b?1 ,r＝(f(a)＋f(b)),则下列关系?2?2 ∴根据基本不等式和对数函数单调性可得p z 3.(2019原创,10分)设x,y,z均为正实数,且xyz＝1,求证:x＋y＋≥22,并指出取得等号的 y条件. 答案:见证明过程,取等条件为x＝1 证明:∵xyz＝1,∴z＝.(2分) xy∵x,y,z均为正实数,(3分) 1z1 x＋2?＋y≥2∴x＋y＋＝x＋y＋2＝?yxy?xy? 1x＝2，xy 12 x·2＋y＝＋y≥2xyy 2·y＝22,(7分) y 2 ,y＝2,z＝1 2 2?x＝???2，取得等号的条件是?2即?(10分) y＝，y＝2，y??z＝1.?xyz＝1，? 普查讲31Ⅱ 利用基本不等式求最值及其应用 2.利用基本不等式求最值的常用技巧
全国高2020届高2017级高三理科数学理数第31课基本不等式及其应用
