第68讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验
1．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)
1
的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据
2
的样本相关系数为(D)
A．－1 B．0 1
C. D．1 2 由题意知，这组样本数据完全正相关，故相关系数为1，选D.
2．设某大学的女生的体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y ＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(D) ．．．
A．y与x具有正的线性相关关系
－－
B．回归直线过样本点的中心(x，y)
C．若该大学某女生的身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg
D．若该大学某女生的身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
A、B、C均正确，是回归方程的性质．D项是错误的，线性回归方程只能预测学
生的体重，选项D应改为“若该大学某女生身高为170 cm，则估计其体重大约为58.79 kg”才正确．
3．(2015·福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 收入x(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 支出y(万元) 据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(B) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
－8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
由题意知，x＝＝10，
5－6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8y＝＝8，
5所以a ＝8－0.76×10＝0.4，
所以当x＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．
4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
男 女 总计 爱好 不爱好 总计 2
9.8 40 20 60 20 30 50 60 50 110 n?ad－bc?2由K＝算得，
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?110×?40×30－20×20?22
K＝≈7.8.
60×50×60×50
附表：
0.050 P(K2≥k) 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是(A) A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 因为7.8>6.635，所以99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，选A. 5．对于一组数据的两个函数模型，模型Ⅰ和模型Ⅱ的残差平方和分别为180.2和290.7，若从中选取一个拟合程度较好的函数模型，应选 模型Ⅰ .
残差平方和越小，函数模型对数据的拟合效果越好；残差平方和越大，说明
函数模型对数据的拟合效果越差． 6．已知x、y的取值如下表所示， x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 从所得的散点图分析，y与x线性相关，且y＝0.95x＋a，则a＝ 2.6 .
－－
因为回归直线方程必过样本点的中心(x，y)，
－－
解得x＝2，y＝4.5，将(2,4.5)代入y＝0.95x＋a，可得a＝2.6.
7．(2015·重庆卷)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表： 2010 2011 2012 2013 2014 年份 时间代号t 储蓄存款y 1 2 3 4 5 10 5 6 7 8 (千亿元) (1)求y关于t的回归方程y ＝b t＋a ； (2)用所求回归方程预测该地区2015年(t＝6)的人民币储蓄存款．
i＝1
－
?tiyi－nt y
－
，a ＝y－b
i＝1
n
附：回归方程y ＝b t＋a 中，b ＝t.
?t2i－nt
n
2
(1)列表计算如下：
i 1 2 3 4 5 ∑ 1n15
这里n＝5，t＝?ti＝＝3，
n5
i＝1
ti 1 2 3 4 5 15 yi 5 6 7 8 10 36 t2i 1 4 9 16 25 55 tiyi 5 12 21 32 50 120 36－1n
y＝?yi＝＝7.2.
n5
i＝1n
又ltt＝?ti2－nt2＝55－5×32＝10，
i＝1
－－
lty＝?tiyi－nty＝120－5×3×7.2＝12，
i＝1
n
lty12
从而b ＝＝＝1.2，
ltt10－a ＝y－b
t＝7.2－1.2×3＝3.6，
故所求回归方程为y ＝1.2t＋3.6.
(2)将t＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．
8．(2015·湖北卷)已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(C)
A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关 C．x与y负相关，x与z负相关 D．x与y负相关，x与z正相关
因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z
＝b y＋a ，b >0，则z＝b y＋a ＝－0.1b x＋b ＋a ，故x与z负相关．
9．某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过这种血清的人与另外500名未使用这种血清的人一年中的感冒记录比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2＝3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.下列结论中，正确结论的序号是 ① .
①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；
②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒； ③这种血清预防感冒的有效率为95%； ④这种血清预防感冒的有效率为5%.
因为K2＝3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05， 所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．
10．(2016·湖北省八校第二次联考)国内某知名大学有男生14000人，女生10000人．该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：(平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3])
男生平均每天运动的时间分布情况： 平均每天 [0, [0.5, [1, [1.5, [2, [2.5, 运动的时0.5) 1) 1.5) 2) 2.5) 3] 间 2 12 人数 女生平均每天运动的时间分布情况： 23 18 10 x 平均每天 运动的时间 [0, 0.5) [0.5, 1) [1, 1.5) [1.5, 2) [2, 2.5) [2.5, 3] 5 12 18 10 3 y 人数 (1)请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间(结果精确到0.1)； (2)若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”．
①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；
②请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为'运动达人'与性别有关？” 运动达人 非运动达人 总计 男生 女生 总计 n?ad－bc?22
参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 P(K2≥k0) k0
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 140000.001 10.828 (1)由分层抽样得，男生抽取的人数为120×＝70人，女生抽取
14000＋10000
的人数为120－70＝50人，故x＝5，y＝2，
则该校男生平均每天运动的时间为： 1
(0.25×2＋0.75×12＋1.25×23＋1.75×18＋2.25×10＋2.75×5)≈1.5, 70
故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时．
201
(2)①样本中“运动达人”所占比例是＝，故估计该校“运动达人”有
1206
1
×(14000＋10000)＝4000人． 6
②由表格可知：,
男生 女生 总计 故K2的观测值
120?15×45－5×55?296k＝＝≈2.743<3.841.
3520×100×50×70
故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为'运动达人'与性别有关”．
运动达人 15 5 20 非运动达人 55 45 100 总计 70 50 120
2020年高考数学第68讲 变量的相关性、回归分析、独立性检验
