北 京 交 通 大 学
2008-2009学年第一学期《复变函数与积分变换B》期末考试试卷A 学院_______________ 专业_______________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_______________
题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 11 12 总分 一．填空题（本题满分16分，每空1分），请将合适的答案填在空中. 1．复数z?75(3?4i)(2?5i)29；，则Re(z)? -；Im(z)?-13；|z|?2i22265)??；复数z的三角表达式为29(cos(arg(z))?isin(arg(z))) 725z()29eiarg. 26iarg(z)?arctan(指数表达式为
??2k?2．6?1? e?i?cos??2k?6?isin??2k?6,k?0,1,2,3,4,5
3．i? e?(?2k?2 k?Z
)4. Ln(?1)? (2k?1)?i k?Z
5．函数argz在复平面上的连续性为 除去原点和负实轴上的点外都连续。
nzn6．幂级数?n的收敛半径为__2_____.
n?12?7．映射w?ez将带形域0?Im(z)?2?映照成 除去正实轴（包含原点）的全平面.
8．幂函数w?z3，把角形域0?arg(z)?9．Res[e,0]? 1.
10．变换w?z2?5在z?1?i的旋转角为
1z?6映照为w平面的 第一象限. ?，伸缩率为 22 4二．判断下列命题的真假（本题满分10分，每道小题1分），对的填“?”，错
的填“?”.
1．ez?2k?i?ez. ( √ ) 2．当z为复数时，|sinz|?1仍然成立. ( × ) 3．
z?0是f(z)?11sinz的孤立奇. ( × )
4．如果f'(z0)存在，则f(z)在z0解析. ( × )
5．解析函数一定是调和函数，但调和函数不一定是解析函数
(√) 6．当C是一条不通过原点的简单闭曲线时，积分?1dz?0. ( √ ) zC7．每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点. ( × ) 8．Lnz2?2Lnz. ( × ) 9．如果幂级数
?cn?0?n(z?2)n在z?0收敛，则在z?3也收敛.
(
√)
10．映射w?z2在z平面上每一点都具有伸缩率和旋转角的不变性. ( × )
三．（本题满分6分）讨论函数f(z)?zRe(z) 的连续性、可导性、解析性. 解：
设 z?x?iy, 则 f(z)?(x?iy)x?x2?ixy,又设 u?x2, v?xy,则?u?u?2x, ?0?x?y?v?v?y, ?x?x?y?u?v?u?v x?0,y?0 时，?, ???x?y?y?x 但在复平面内任一点都不解析。
? f(z)?zRe(z) 在复平面内连续，在z?0可导，
四．（本题满分6分） 将函数收敛半径.
解：
z?1在z0?1展成泰勒级数，并求出泰勒级数的z?1z－111z－11＝(z－1)?＝(z－１)＝z＋11＋z－1＋12＋z－121＋z－122分
z－1设 ?1 即 z－1?2 时，2??z-1??z-1?2z-1=(z-1)?1???????z-122??????z-1??=(z-1)-22?z-1????1????2??nnz-1???223????1?n?z-1?2nn?1????2分
?收敛半径 R?2 2分
(z2?1)(z?2)4五．（本题满分8分）在扩充复平面上找出函数f(z)?的孤立奇4(sin?z)点并加以分类，若是极点，指出其级数. 解：
?sin?z???cos?z 在 z?0,?1,?2,都不为零?z?0,?1,?2,是sin?z的一级零点，从而是3分
'?sin?z?4的四级零点，这些点中除去1，?1，2外都是f?z?的四级极点。又z2?1??z?1??z?1??z??1是f?z?的3级极点,至于z?2,因为z??limz?22limf?z?z?2?1??z?2?44?sin?z?2?z?2??lim?z?1??? z?2?sin?z?244????1?lim????2??1??4??sin?????0???3?4??z?2是f?z?的可去奇点2?1??1????1?2??关于z??,因为f????????6sin44?1可知?=0，?n?使分母为零，n当n?1时，?1=1,即z?1;1当n?2时，?2?，即z?2,这两点上面已讨论过，2?1?1当n?2时，?n?为f??的极点，n???当n??时，?n?0，5分
?1????0不是f??的孤立奇点，即z??不是f?z?的孤立奇点。???
六．（本题满分18分）
2?2i1．分别沿y?x与y?x计算积分解：（1）沿y?x，
原式?3分
（2）沿y?x2原式
22； (x??iy)dz（6分）0??20?x3i2?2?8i??8??????x?ixd?x?ix???1?i???x|?1?i??4?1?i?2i???? ?32?0323??????2???x?ixdx?ix02?22??22???x?1?i??1?2xi?dx??1?i???x222002?8??2x3idx??1?i???8i??3??3分
2．计算积分?1其中C为包含z0的任意一条正向简单闭曲线， n为dz，n?1(z?z0)C整数.（6分）；
解：
根据闭路变形原理，
?2?i,n?0dz??原式?? n?10,n?0???z?z0?rz?z01
3．已知调和函数 u?2(x?1)y，求解析函数f(z)?u?iv，且f(2)??i.
（6分） 解：
?u?u?V?u?2?x?1?,?2y，由C?R条件????2?x?1???2x?2。2分 ?y?x?x?y2设V??x?2x???y?，则
?V?u??'?y???2y???y??y2?C，2分 ?y?x所以V??x?2x?y?C，f?z??2?x?1?y??x?2x?y?C，有已知
2222??f?2???i，则x?2,y?0,f?z???i，f?2???4?4?0?C??i?C??i，所以
f?z??2?x?1?y?x2?2x?y?i 2分
《复变函数与积分变换A》期末考试题A-A参考答案
