专题06 立体几何（解答题）
1．AA1=4，AB=2，【2019年高考全国Ⅰ卷理数】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，∠BAD=60°，
E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A?MA1?N的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）10. 5【解析】（1）连结B1C，ME． 因为M，E分别为BB1，BC的中点， 所以ME∥B1C，且ME=
1B1C． 2又因为N为A1D的中点， 所以ND=
1A1D． 2PDC，可得B1CPA1D，故MEPND， 由题设知A1B1???因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1， 所以MN∥平面C1DE． （2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D?xyz，则
uuur
uuuruuuurA(2,0,0)，A1(2，0，4)，M(1,3,2)，N(1,0,2)，A1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，uuuuruuuurA1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．
uuuur??m?A1M?0uuur设m?(x,y,z)为平面A1MA的法向量，则?， ??m?A1A?0???x?3y?2z?0，所以?可取m?(3,1,0)．
???4z?0．uuuur??n?MN?0，n?(p,q,r)AMN r设为平面1的法向量，则?uuuu??n?A1N?0．???3q?0，所以?可取n?(2,0,?1)．
???p?2r?0．于是cos?m,n??m?n2315， ??|m‖n|2?5510． 5所以二面角A?MA1?N的正弦值为【名师点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1
上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 2【解析】（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1， 故B1C1?BE．
又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．
（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以?AEB?45?， 故AE?AB，AA1?2AB．
uuuruuurx 以D为坐标原点，DA的方向为轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，
uuuuruuuruuur1，0）B1，0）1，2）E0，1） 则C（0，，（1，，C1（0，，（1，，CB?(1,0,0)，CE?(1,?1,1)，CC1?(0,0,2)．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
uuur??CB?n?0,?x?0, r即??uuu??CE?n?0,?x?y?z?0,所以可取n=(0,?1,?1).
设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则
uuuur??CC1?m?0,?2z?0, r即??uuu?x?y?z?0.??CE?m?0,所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1??．
|n||m|23． 2所以，二面角B?EC?C1的正弦值为【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.
3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中
AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B?CG?A的大小.
【答案】（1）见解析；（2）30o.
【解析】（1）由已知得ADPBE，CGPBE，所以ADPCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．
由已知得AB?BE，AB?BC，故AB?平面BCGE． 又因为AB?平面ABC，所以平面ABC?平面BCGE． （2）作EH?BC，垂足为H．
因为EH?平面BCGE，平面BCGE?平面ABC，所以EH?平面ABC． 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．
uuur以H为坐标原点，HC的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，
则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，3），CG=（1，0，3），AC=（2，–1，0）． 设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则
uuuruuuruuur??CG?n?0,??x?3z?0, r即??uuu2x?y?0.???AC?n?0,?所以可取n=（3，6，–3）．
又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0）， 所以cos?n,m??n?m3． ?|n||m|2因此二面角B–CG–A的大小为30°．
【名师点睛】本题是很新颖的立体几何考题，首先是多面体折叠问题，考查考生在折叠过程中哪些量是不变的，再者折叠后的多面体不是直棱柱，最后通过建系的向量解法将求二面角转化为求二面角的平面角问题，突出考查考生的空间想象能力.
4．【2019年高考北京卷理数】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，
PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且（1）求证：CD⊥平面PAD； （2）求二面角F–AE–P的余弦值； （3）设点G在PB上，且
PF1?． PC3PG2?．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． PB3
三年(2017-2019)高考真题数学（理）分项汇编专题06 立体几何（解答题）（解析版）
