2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 解答题（八）理 解答题(八）
17．(2019·江西南昌一模）如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD,且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点．
（1）求证：AA1⊥BD；
（2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．
解 (1）证明：因为CC1⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD,因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC。 又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AC1C,又由四棱台ABCD－A1B1C1D1，知A1,A，C，C1四点共面，所以BD⊥平面A1ACC1,所以BD⊥AA1.
(2)设AC交BD于点O,连接A1O,依题意,有A1C1∥OC且A1C1＝OC,所以四边形A1OCC1为平行四边形,所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1。因为CC1⊥底面ABCD,所以A1O⊥底面ABCD.
以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A（2错误!，0，0)，A1（0，0,4），C1（－2错误!，0，4），B（0,2,0）， 由错误!＝错误!错误!,得B1(－错误!，1，4），因为E是棱BB1的中点, 所以E错误!，
所以错误!＝错误!，错误!＝(－2错误!，0，0)， 设n＝（x，y，z）为平面EA1C1的法向量， 则错误!
取z＝3，得n＝（0,4,3），平面A1C1C的法向量m＝（0，1，0），又由图可知，二面角E－
A1C1－C为锐二面角，设二面角E－A1C1－C的平面角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!，所以二面
角E－A1C1－C的余弦值为错误!。
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2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 解答题（八）理 18．(2019·福建三明质量检查）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b＝3（acosB＋bcosA），b＋c＝8.
（1）求b,c;
（2)若BC边上的中线AD＝错误!，求△ABC的面积．
解 （1）由正弦定理,得sinB＝3(sinAcosB＋sinBcosA），所以sinB＝3sin(A＋B），因为
A＋B＋C＝π,所以sin（A＋B)＝sin（π－C)＝sinC，即sinB＝3sinC,所以b＝3c，又因为b＋c＝8，所以b＝6,c＝2。
(2）在△ABD和△ACD中，
由余弦定理,得c＝AD＋BD－2AD·BD·cos∠ADB，
2
2
2
b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC。
因为b＝6,c＝2,BD＝DC＝错误!,AD＝错误!， 又因为∠ADB＋∠ADC＝π,
即cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以a＝31,
2
b2＋c2－a2
所以cos∠BAC＝＝错误!,
2bc又因为∠BAC∈（0，π）,所以sin∠BAC＝错误!. 所以△ABC的面积S△ABC＝错误!bcsin∠BAC＝错误!.
19．(2019·湖北黄冈2月联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
（1)求这100件产品质量指标值的样本平均数错误!和样本方差s(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；
（2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ)，其中μ近似为样本平均数错误!，σ近似为样本方差s.
①若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X表示这10件产品中质量指标值位于(187.4,225.2）的产品件数,求E（X);
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2020届高考数学大二轮复习 刷题首选卷 第二部分 刷题型 解答题（八）理
②一天内抽取的产品中,若出现了质量指标值在（μ－3σ，μ＋3σ)之外的产品,就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查．
附：错误!≈12.6，P(μ－σ〈X〈μ＋σ）＝0。6826,P（μ－2σ 解 （1)由题意，得错误!＝170×0。025＋180×0。09＋190×0.22＋200×0.32＋210×0。24＋220×0。08＋230×0。025＝200， 22222s2＝(－30)2×0。025＋(－20)×0。09＋(－10）×0。22＋0×0。32＋10×0。24＋20×0.08 ＋30×0.025＝159. (2）①由题意，得一件产品中质量指标值位于区间(187.4,225.2)的概率为0.6826＋0。9544 ＝0.8185，则X～B（10,0。8185）， 2 ∴E（X）＝10×0.8185＝8.185. ②由（1），知μ－3σ≈200－12。6×3＝162。2， 2 μ＋3σ≈200＋12。6×3＝237。8， ∵237.9?(162.2，237.8）， ∴需要对当天的生产过程进行检查． 20．（2019·安徽皖南八校第三次联考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x＝2py(p〉0)，过抛物线的焦点F且与y轴垂直的直线与抛物线相交于A，B两点，且△OAB的周长为2＋5. (1）求抛物线C的方程； (2）若直线l过焦点F且与抛物线C相交于M,N两点，过点M,N分别作抛物线C的切线l1， - 3 - 2
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