2013年北约自主招生数学试题
2013-3-16
(时间90分钟,满分120分)
一 选择题(每题8分,共48分)
1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 ( )
A.2 B.3 C.5 D.6
2.在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法 ( )
A.720 B.20 C.518400 D.14400
3.已知x?2y?5,y?2x?5,则x?2xy?y的值为 ( ). A.-10 B.-12 C.-14 D.-16
4.如图, 在△ABC中,D为BC中点,DM平分∠ADB交AB于点M,DN平分∠ADC
A
交AC于N,则BM+CN与MN的关系为 ( ) A.BM+CN>MNB.MN+CN E B D M 223223N C 5.设数列?an?满足a1?1,前n项和为Sn,Sn?1?4an?2,求a2013. 6.模长为1的复数x,y,z满足x?y?z?0,求 xy?yz?zx. x?y?zA.-1/2 B.1 C.2 D.无法确定 二、解答题(每题18分,共72分) 7.最多有多少个两两不等的正整数,满足其中任意三数之和都为素数. 8.已知ai,i?1,2,3,?,2013为2013个实数,满足a1?a2?a3???a2013?0,且 a1?2a2?a2?2a3?…?a2013?2a1,求证a1?a2?a3???a2013?0. 9.对于任意的?,求32cos??cos6??6cos4??15cos2?的值. 10.已知有mn个实数,排列成m?n阶数阵,记作aij6??m?n使得数阵的每一行从左到右都 是递增的,即对任意的i?1,2,3,?,m,当j1?j2时,有aij1?aij2;现将aij??m?n的每一列 ,即 '原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m?n阶数阵,记作aij??m?n对任意的j?1,2,3,?,n,当i1?i2时,有a大小关系,并加以证明. 'i1j?a'i2j,试判断?a'ij?m?n中每一行的各数的 2013年北约自主招生数学试题解析 2013-3-16 (时间90分钟,满分120分) 一 选择题(每题8分,共48分) 1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的次数最小是多少 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 【解析】 显然(x?2)((x?1)?2)为满足要求的多项式,其次数为5. 若存在n次有理系数多项式f(x)以 232和1?32为两根,则f(x)必含有因式 (x2?2)((x?1)3?2),∴n?5,即最小次数为5.故选C. 2.在6?6的棋盘中停放着3个红色車和3个黑色車,每一行、每一列都只有一个車,共有多少种停放方法 ( ) A.720 B.20 C.518400 D.14400 3【解析】 先排3个红色車,从6行中任取3行,有C6?20种取法;在选定的3行中第一 行有6种停法,第一行选定后第二行有5种停法,第二行选定后第三行有4种停法;红車放定后,黑車只有6种停法.故停放方法共20?6?5?4?6?14400种.故选D. 3.已知x?2y?5,y?2x?5,则x?2xy?y的值为 ( ). A.-10 B.-12 C.-14 D.-16 【解析】 ∵x?2xy?y?x(2y?5)?2(2y?5)(2x?5)?y(2x?5) 3223223223??4xy?15(x?y)?50, 又由x?2y?5,y?2x?5,有x?y??2(x?y) ∴x?y或x?y??2. 2当x?y时,有x?2x?5,x?1?22226,
历年来北大自主招生数学试题 - 图文
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