个常数，这个数列就叫做等差数列，物理竞赛中的数学知识
一、重要函数 1． 指数函数
2． 三角函数
y=sinx
y
y=cosx
y
-5
3 7 3 7
2
-2 1
2
2
-3 2 3 2
-4 -7 -3
-2 -3-
ox
-5
2
- -21
2 5 3
4
-4
-7
-2 -3
o 2 5 4 x
2 2
-1 2
2
2 2
-1 2
2
y
y=tanx
3 -
o
3 x
- 2
-2
2
2
3． 反三角函数
反正弦 Arcsin x ，反余弦 Arccos x ，反正切 Arctan x ，反余切 Arccot x 这些函数的统称，
各自表示其正弦、余弦、正切、余切为
x 的角。
二、数列、极限
1． 数列：按一定次序排列的一列数称为数列，
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项） ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项 排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。数列的一般形式可以写成
a1， a2， a3， ， an， a（n+1），
简记为｛ an｝，
通项公式：数列的第 N 项 an 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2． 等差数列： 一般地，如果一个数列从第
2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一
这个常数叫做等差数列的公差， 公差通常用字母 d 表示。
a1 an
n( n 1)
通项公式 an=a1+(n-1)d ，前 n 项和 Sn
2 n na1
2 d
等比数列： 一般地， 如果一个数列从第
2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一
个常数，这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母 q 表示。通项公式 an=a1q (n-1) ，前 n 项和 San
a1 an q 1(1 qn ) ( q
1)
1 q
1 q
所有项和 Sn
a1 ( q 1)
1 q
3． 求和符号
4． 数列的极限：
设数列 an ,当项数 n 无限增大时 ,若通项 an 无限接近某个常数
A,或称 A 为数列 an 的极限 ,记作
否则称数列
n
A ,则称数列 an 收敛于
lim an
n
A
an 发散或 lim an 不存在 .
三、函数的极限：在自变量 x 的某变化过程中，对应的函数值
f(x)无限接近于常数
A，
则称常数 A 是函数 f(x)当自变量 x 在该变化过程中的极限。
设 f(x)在 x>a (a>0) 有定义 ,对任意 >0, 总存在 X>0,当 x>X 时，恒有 | f(x)
常数 A 是函数 f(x)当 x
A|< ，则称
+ 时的极限。记为
lim f(x)=A，或 f(x)
x
A(x +
)。
运算法则
lim [f(x)
x x0
g(x)]= lim f(x)
x
x0
lim g(x)
x x0
lim [f(x)
x x0
g(x)]=
lim f( x)
x x0
lim g(x)
x x0
lim f ( x) x x0 g (x)
lim f (x)
x x0
lim g( x)
x x0
，其中 lim g(x)
x x0
0.
四、无穷小量与无穷大量
1．若 lim f (x) 0 ，则称 f (x) 是 x
x x0
x0 时的无穷小量。
（若
lim ( )
x x 0
g x
, 则称 f ( x) 是
x
x0
时的无穷大量） 。
或：若 lim
x x0
(x)=0 , 则称
( x)当 x
x0 时为无穷小。
在自变量某变化过程中，
|f(x)|无限增大， 则称 f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。 记为
lim f ( x) .
2．无穷小量与无穷大量的关系
无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。
3．无穷小量的运算性质
（ i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。 （ ii ）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。 （ iii ）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 4．无穷小的比较 定义：设 lim
(x)=0， lim
x 0
(x)=0 ，
1)若 lim
x 0
(x)
=0 ，则称当 x
x0
x0 时
(x)是比 (x)高阶无穷小。
( x)
2)若 lim
(x)
= ，则称当 x
x0 时
(x)是比 (x)低阶无穷小。
x0
( x)
3)若 lim
x 0
(x)
=C(C
0)，则称当 x
x0 时
(x)与
(x)是同阶无穷小，
( x) (x)
4)若 lim
x 0
=1, 则称当 x
x0 时
(x)与
(x)是等价无穷小。
( x)
5．常用的等价无穷小为： 当 x 0 时： sin x
x，tan x
x，arcsin x
x，arctan x
x，1 cos x
1 x 。
n
1 x2 ， n 1 x 1 2
等价无穷小可代换
五、二项式定理 1． 阶乘： 2． 组合数：从 个不同元素中取出
n!=1 × 2× 3× ×n m 个不同元素中取出
n 个元素的组合数
n（ n≤m）个元素的所有组合的个数，叫做从
m
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