解密高考⑤ 圆锥曲线问题巧在“设”、难在“算”
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————[技法指津]————
圆锥曲线的设点、设元策略
圆锥曲线问题在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应恰当地设点、设线，以简化运算，突出 “设”的重要性．
(1)巧设“点”，可采用设而不求的方式解决弦长问题、中点弦问题、定点与定值问题、最值问题、相关量的取值范围问题等等．
(2)巧设 “线”， 如涉及直线的斜率问题可依据题设条件灵活设直线方程为y＝kx＋b、
?x＝x0＋tcos α?
x＝my＋n；对于分点问题可依据题设条件设直线的参数方程为?
??y＝y0＋tsin α
(t为参
数)．,
母题示例：2019年全国卷Ⅰ，本小题满分12分
32已知抛物线C：y＝3x的焦点为F，斜率为的2直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为本题考查：抛物线的定义、直线方程的求法、弦长公式、方程根与系数的关系等知识，学生的函数方程思想、转化化归等能力，数学运算、逻辑推理等核心素养. P. (1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程； →→(2)若AP＝3PB，求|AB|. [审题指导·发掘条件] (1)看到抛物线的焦半径，想到抛物线的定义，缺xA＋xB，补设直线l的方程，联立抛物线求解即可；
- 1 -
→→
(2)看到求|AB|想到弦长公式，缺yA＋yB的值，借助AP＝3PB补找该关系．
- 2 -
[构建模板·五步解法] 圆锥曲线类问题的求解策略 第一步 设点直线 第二步 联立消元 联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零). 母题突破：2019年丹东二模，本小题满分12分 第三步 根与系数 第四步 公式求解 结合中点坐标公式、应用根与系数的关系及判别式. 弦长公式、斜率公式等求解题设涉及的位置关系和数量关系. 第五步 归纳反思 反思条件转化过程的等价性与严密性. 设出直线的方程及相交两点的坐标. x2y2经过坐标原点O的两条直线与椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)分别相交于点A、C和点B、D，
ab其中直线AB经过E的左焦点(－1,0)，直线CD经过E的右焦点(1,0)．当直线AB不垂直于坐3
标轴时，AB与AD的斜率乘积为－. 4
(1)求椭圆E的方程；
(2)求四边形ABCD面积的最大值．
[解](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由对称性D(－x2，－y2)，直线AB与直线AD的斜率乘
2
y22－y1
积为22. x2－x1
2分
3分 4分
- 3 -
2
x2y2x2y2y2b211222－y1
由2＋2＝1，2＋2＝1，相减得22＝－2. ababx2－x1ab23所以2＝，
a4
因为a－b＝1，所以a＝4，b＝3， 5分 椭圆E的方程为＋＝1.
43
2222
x2y2
6分
(2)由题知CD不平行于x轴，设CD：x＝my＋1，与＋＝1联立得
43(3m＋4)y＋6my－9＝0.
2
2
2
x2y2
2
7分 8分
－3m±6m＋1
Δ＝144(m＋1)＞0，y1，y2＝. 2
3m＋4
由对称性知四边形ABCD是平行四边形，其面积S等于△OCD面积的4倍，于是S＝4S△OCD24m＋124
＝2|y1－y2|＝＝2
3m＋42
3m＋1＋2
1
. 10分
m2＋1
t12
设m＋1＝t，当t≥1时，函数y＝3t＋单调递增， 所以当t＝1，即m＝0时，S取最大值6.
12分
- 4 -
2020版高考数学二轮复习第2部分专题5解析几何解密高考5圆锥曲线问题巧在“设”难在“算”教案
