凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角问题导学案新人教A版必
修4
问题导学
一、向量数量积的坐标运算 活动与探究1
已知a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( ) A．－12 B．－6 C．6 D．12
(2)若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( ) A．a·b＝1 B．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b D．a∥b 迁移与应用
若a＝(－3,4)，b＝(2，－1)，且(a－xb)⊥(a－b)，求x的值． (1)通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与方程、函数等知识的联系．
(2)向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一种是坐标式，两者互相补充．
二、向量的模与夹角问题 活动与探究2
(1)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|等于( )
A． B． C．2 D．10
(2)已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k＝________．
迁移与应用
1．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于( )
A．－ B． C． D．
3π 4
2．已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．
利用数量积求两向量夹角的步骤：
(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．
(2)利用|a|＝计算出这两个向量的模．
(3)由公式cos θ＝直接求出cos θ的值．
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
(4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ． 三、向量数量积的综合应用 活动与探究3
已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________；·的最大值为________．DECBDE
迁移与应用
已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)．OPOAOB
(1)求使·取到最小值时的；CACBOC (2)根据(1)中求出的点C，求cos∠ACB．
(1)利用向量可以解决与长度、角度、垂直、平行等有关的几何问题，其解题关键在于把其他语言转化为向量语言，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何的问题转化为向量问题，进而通过向量的运算来研究几何元素间的关系．
(2)已知两向量的坐标，根据平面向量的数量积的定义和性质，可以求其数量积、两向量的长度和它们的夹角．此外，求解数量积的有关综合问题，应该注意函数思想与方程思想的运用．
当堂检测 1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于( ) A．3 B．1
C．－1 D．－3
2．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝，则b等于( )35
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
3．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为( ) A． B． C． D．65
4．若a＝(－4,3)，b＝(1,2)，则2|a|2－3a·b＝________． 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角大小为________．
提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案：
课前预习导学
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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凡读书......须要读得字字响亮，不可误一字，不可少一字，不可多一字，不可倒一字，不可牵强暗记，只是要多诵数遍，自然上口，久远不忘。古人云，读书百遍，其义自见。谓读得熟，则不待解说，自晓其义也。余尝谓，读书有三到，谓心到，眼到，口到。
【预习导引】
1．x1x2＋y1y2 它们对应坐标的乘积的和 2．(1)(2)(x1－x2)2＋(y1－y2)2 3．x1x2＋y1y2＝0 4．(0≤θ≤π)
预习交流 提示：由于向量a0＝，且|a|＝，所以a0＝＝(x，y)＝，此为向量a＝(x，y)的单位向量．
课堂合作探究 【问题导学】
活动与探究1 思路分析：运用向量数量积坐标运算的法则及性质求解．
(1)D (2)C 解析：(1)由已知2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，从而a·(2a－b)＝(2,1)·(5，2－k)＝10＋2－k＝0，∴k＝12．
(2)由已知得a－b＝(2,0)－(1,1)＝(1，－1)，∴(a－b)·b＝1×1＋1×(－1)＝0，∴(a－b)⊥b．
迁移与应用 解：∵a－xb＝(－3－2x,4＋x)，a－b＝(－5,5)，(a－xb)⊥(a－b)，
∴(－3－2x)×(－5)＋(4＋x)×5＝0， ∴3x＋7＝0， ∴x＝－．
活动与探究2 思路分析：(1)运用垂直求出x值，得到a＋b的坐标，求模．
(2)求出|ka－b|，|a＋b|及(ka－b)·(a＋b)，再运用夹角公式求k．
(1)B (2)－1±解析：(1)∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2． ∴a＝(2,1)，∴a＋b＝(3，－1)．∴|a＋b|＝． (2)∵|ka－b|＝， |a＋b|＝＝．
又(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，而ka－b与a＋b的夹角为120°，
∴cos 120°＝， 即－＝，
化简整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±．
迁移与应用 1．C 解析：由于2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)， 所以cos〈2a＋b，a－b〉＝＝＝，故2a＋b与a－b的夹角为． 2．解：由题意知cos α＝＝．
∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0，
邴原少孤，数岁时，过书舍而泣。师曰：童子何泣？原曰：孤者易伤，贫者易感。夫书者，凡得学者，有亲也。一则愿其不孤，二则羡其得学，中心伤感，故泣耳。师恻然曰：欲书可耳原曰：无钱资。师曰：童子苟有志吾徒相教不求资也。
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高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积2-4-2平面向量数量积的坐标表示模夹角问题导学案新人教A版必修4
