的期望和方差 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) np np(1?p) ? 1 p? 1?p 2pnM?M??N?n??1???? N?N??N?1?几何分布G(p) 超几何分布H(n,M,N) nM Na?b 2均匀分布U(a,b) (b?a)2 12指数分布e(?) 正态分布N(?,?) 21 ?1?2 ? n 0 ?2 2n ?2分布 t分布 （5）二维随机变量的数字特征 期望 nn(n>2) n?2??E(X)??xipi? i?1E(X)??????xfX(x)dx E(Y)??yjp?j j?1nE(Y)????yfY(y)dy 函数的期望 E[G(X,Y)]＝ E[G(X,Y)]＝ ??G(x,yiijj)pij ????－?－???G(x,y)f(x,y)dxdy ??方差 D(X)??[xi?E(X)]2pi? iD(X)??[x?E(X)]2fX(x)dx ????D(Y)??[xj?E(Y)]2p?j jD(Y)??[y?E(Y)]2fY(y)dy ??
协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩?11为X与Y的协方差或相关矩，记为?XY或cov(X,Y)，即 ?XY??11?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]. 与记号?XY相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为?XX与?YY。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称 ?XYD(X)D(Y) 为X与Y的相关系数，记作?XY（有时可简记为?）。 |?|≤1，当|?|=1时，称X与Y完全相关：P(X?aY?b)?1 完全相关??正相关，当??1时(a?0)，?负相关，当???1时(a?0)， 而当??0时，称X与Y不相关。 以下五个命题是等价的： ①?XY?0； ②cov(X,Y)=0; ③E(XY)=E(X)E(Y); ④D(X+Y)=D(X)+D(Y); ⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 ??XX????YX?XY?? ??YY?kl混合矩 对于随机变量X与Y，如果有E(XY)存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为?kl；k+l阶混合中心矩记为： ukl?E[(X?E(X))k(Y?E(Y))l]. （6）协方差的性质 (i) (ii) (iii) (iv) cov (X, Y)=cov (Y, X); cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独立和不相关 （i） （ii） 若随机变量X与Y相互独立，则?XY?0；反之不真。 若（X，Y）～N（?1,?2,?1,?2,?）， 则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。 22第五章 大数定律和中心极限定理
（1）大数定律 X?? 切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi） （2）中心极限定理 X?N(?,?2n) 列维－设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有林德伯相同的数学期望和方差：格定理 E(Xk)??,D(Xk)??2?0(k?1,2,?)，则随机变量 Yn??Xk?1nk?n? n?的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有 ?n?X?n??k??1?k?1?limFn(x)?limP??x??n??n??n?2???????此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 ?x??e?t22dt. 设随机变量Xn为具有参数n, p(0 （1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 个体 样本 我们把从总体中抽取的部分样品x1,x2,?,xn称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，x1,x2,?,xn表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，x1,x2,?,xn表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设x1,x2,?,xn为总体的一个样本，称 ??? （x1,x2,?,xn） 为样本函数，其中?为一个连续函数。如果?中不包含任何未知参数，则称?（x1,x2,?,xn）为一个统计量。 常见统计量及其性质 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 ?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC) 德摩根率：i?1?A??Aii?1??i A?B?A?B，A?B?A?B
概率论与数理统计(完整公式,知识点梳理)
