高等数学教案—一元函数微分学的应用
课 时 授 课 计 划
第一课时
教学过程及授课内容 教学过程
一、柯西中值定理
定理1（柯西中值定理）如果函数f(x)与 F(x)满足下列条件：(1)闭区间
[a,b]上连续；
(2)在开区间(a,b)内可导；
(3)F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在(a,b)内至少有一点ξ，使得 ??)f(b)?f(a)f(?.
F(b)?F(a)F?(?)
二、洛必达法则
把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为(也称为
0?型或 型不定式0?0?型或型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的
?0极限方法．
定理2 (洛必达法则)若(1)limf(x)?0，limg(x)?0；
x?x0x?x0(2)f(x)与g(x)在x0的某邻域内（点x0可除外）可导，且g'(x)?0；
f?(x)?A(A为有限数，也可为??或??)，则 (3)limx?x0g?(x)limf(x)f?(x)?lim?A g(x)x?x0g?(x)x?x0证 由于我们要讨论的是函数在点x0的极限，而极限与函数在点x0的值无关，所以我们可补充f(x)与g(x)在x0的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令f(x0)?g(x0)?0，则f(x)与g(x)在点x0就连续了．在x0附近任取一点x，并应用柯西中值定理，得
f(x)f(x)?f(x0)f?(?)?? (ξ在x与x0之间) . g(x)g(x)?g(x0)g?(?)由于x?x0时，ξ?x0，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕．
注：上述定理对x??时的定型
0未定型同样适用，对于x?x0或x??时的未0?，也有相应的法则． ?x3?3x?2例1 求lim3．
x?1x?x2?x?1x3?3x?23x2?3636xlim解 lim3====． limx?1x?x2?x?1x?13x2?2x?1x?16x?2421?cosx．
x?πtanx1?cosx?sinx解 lim=lim=0．
x?πx?π1tanxcos2x例2求lim?例3 求 lim2x????arctanx1x=lim
?121?x2=limx=1．
x???1?x21?2x?解 lim2x????arctanx1xx???
0?与之外，还有0??,???,00,1?,?0等未定型，这里不一一介绍，0?有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就???未定型再举一例．
除未定型
1??x?例5 求lim??． x?1x?1lnx??解 这是???未定型，通过“通分”将其化为
0未定型． 01x?lnx?11?xlnx?(x?1)?xlim???lim ?limx?x?1x?1x?1x?1x?1lnx(x?1)lnx??lnx?xlnx1?lim? .
x?1x?111121??lnx?xx2x在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0?(1)每次使用法则前，必须检验是否属于或 未定型，若不是未定型，
0?就不能使用该法则；
(2)如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子，则可先约去或提出，以简化演算步骤； ?lim(3)当limf?(x)不存在(不包括g?(x)f(x)也不存在，?的情况)时，并不能断定limg(x)1x此时应使用其他方法求极限．
三、课堂练习 思考题 . 习作题
思考题答案
1．法则的三个条件必须同时满足．
2．不一定 （提示：画出一条曲线段，使其上任意一点处切线均不与两
端点连线平行
习作题答案
1．①2; ②1; ③1; ④?1．
2．①1; ②e （提示：利用对数恒等式得x?e3．?1． 四、小结
1. 柯西中值定理 2. 洛必达法则
五、布置作业
P86 1.（1）（2）（3）（4）（5）2.
xxlnx,(1?x)?e1x1ln(1?x)x）．
第二课时
教学过程
一、拉格朗日中值定理
定理1 如果函数f(x)满足下列条件：
（1）在区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导，那么，在(a,b)内至少有一点 ξ，使得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)如果令x?a,Δx?b?a，则上式为
高等数学教案--一元函数微分学的应用
