2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2nn?1 16. 6
三、解答题
17.解：（1）由题设及A?B?C??得sinB?8sin2?2，故
sinB?（41-cosB） 上式两边平方，整理得 17cos2B-32cosB+15=0
解得 cosB=1（舍去），cosB=1517
（2）由cosB=1517得sinB?817，故S14?ABC?2acsinB?17ac
又S17?ABC=2，则ac?2
由余弦定理及a?c?6得
b2?a2?c2?2accosB?（a+c）2?2ac(1?cosB)所以b=2
?36?2?172?(1?1517)?4
18.解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg” ，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg” 由题意知 P?A??P?BC??P?B?P?C?
旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为 （0.040?0.034?0.024?0.014?0.012）?5=0.62 故P?B?的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为 （0.068?0.046?0.010?0.008）?5=0.66 故P?C?的估计值为0.66
因此，事件A的概率估计值为0.62?0.66?0.4092
（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量?50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 2K2?200??62?66?34?38?100?100?96?104?15.705
由于15.705?6.635 故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为
?0.004?0.020?0.044??5?0.34?0.5，
箱产量低于55kg的直方图面积为 ?0.004?0.020?0.044+0.068??5?0.68?0.5 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+0.5-0.340.068≈52.35（kg）． 19.解：（1）取PA中点F，连结EF，BF．
因为E为PD的中点，所以EFPAD,EF=12AD,由?BAD??ABC?90?得BC∥AD，又BC?12AD 所以EF∥BC．四边形BCEF为平行四边形， CE∥BF． 又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB （2）
由已知得BA?AD,以A为坐标原点，uABuur的方向为x轴正方向，uABuur
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz,则
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)， uPCuur?(1，0，?3),uABuur?(1，0，0)则 uBMuuur?(x?1，y，z),uPMuuur?(x，y?1，z?3)
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而n?(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以
cosuBMuuur,n?sin450，z2(x?1)2?y2?z2?2 即（x-1）2+y2-z2=0
又M在棱PC上，设uPMuuur??uPCuur,则 x??,y?1,z?3?3?
1
??22?x=1+?x=1-22????(舍去)，?y=1?y=1由①，②得???z??6?z?6??22??
uuuur??26?26?所以M?1-,1，?，从而AM??1-,1，?
??22?22?????是g?x?的极小值点，故g?x??g?1?=0
综上，a=1
（2）由（1）知f?x??x2?x?xlnx,f'(x)?2x?2?lnx
设h?x??2x?2?lnx,则h'(x)?2???1?2??1?21x
????1?2??1?2??当x??0,?时，h'?x?＜0；当x??,+??时，h'?x?＞0，所以h?x?在?0,?单调递减，在?,+??单调递增 又he?2＞0,h??＜0,h?1??0，所以h?x?在?0,?有唯一零点x0，在?,+??有唯一零点1，且当x??0,x0?时，
?????1??2??1?2??1?2?设m=?x0,y0,z0?是平面ABM的法向量，则
h?x?＞0；当x??x0,1?时，h?x?＜0，当x??1,+??时，h?x?＞0.
uuuur???mgAM?0?2-2x0?2y0?即?r?uuu?mgAB?0???x0?0因为f'?x??h?x?，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点
由f'?x0??0得lnx0?2(x0?1),故f?x0?=x0(1?x0)由x0??0,1?得f'?x0?＜1 4??6z0?0
因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由e?1??0,1?,f'e?1?0得
mgn?mn10 5??所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n?10 5f?x0?＞fe?1?e?2??
所以e?2＜f?x0?＜2-2
因此二面角M-AB-D的余弦值为22.解： （1）设P的极坐标为?，?????＞0?，M的极坐标为??，????＞0?，由题设知
11uuuruuuur20.解 （1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）, NP??x?x0,y?,NM??0,y0?
uuur由NP?uuuur2NM得x0=x,y0?OP=?，OM=?1=4 cos?2y 2由OMgOP=16得C2的极坐标方程?=4cos??＞0
2因此C2的直角坐标方程为?x?2??y?4?x?0?
2??x2y2因为M（x0,y0）在C上，所以??1因此点P的轨迹方程为x2?y2?2
22
（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则
uuuruuuruuuruuuruuuruuurOQ???3,t?,PF???1?m,?n?,OQgPF?3?3m?tn， OP??m,n?,PQ???3?m,t?n?,
（2）设点B的极坐标为?B，?????＞0?,由题设知
BOA=2，?B=4cos?,于是△OAB面积
由OPgPQ?1得-3m?m2?tn?n2?1，又由（1）知m2+n2=2，故 3+3m-tn=0
uuuruuuruuuruuur所以OQgPF?0，即OQ?PF过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. +?? 21.解：（1）f?x?的定义域为?0，uuuruuurS=1OAg?Bgsin?AOB2????4cos?gsin????3?????3?2sin?2????3?2??2?3 当?=-?12时，S取得最大值2+3
设g?x?=ax-a-lnx，则f?x?=xg?x?,f?x??0等价于g?x??0 因为g?1?=0，g?x??0,故g'?1?=0,而g'?x??a?若a=1，则g'?x?=1?1,g'?1?=a?1,得a?1 x1.当0＜x＜1时，g'?x?＜0,g?x?单调递减；当x＞1时，g'?x?＞0，g?x?单调递增.所以x=1x2
所以△OAB面积的最大值为2+3
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (全国II卷) 解析版
