2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：
·如果事件A、B互斥，那么P(AB)?P(A)?P(B).
·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)?P(A)P(B).
·圆柱的体积公式V?Sh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式V?1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 3一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A?{?1,1,2,3,5},B?{2,3,4},C?{x?R|1?x?3}，则(AC)B?
A.?2? B.?2,3? C.??1,2,3? D.?1,2,3,4?
?x?y?2?0,?x?y?2?0,?2.设变量x,y满足约束条件?则目标函数z??4x?y的最大值为
?x…?1,??y…?1,A.2 B.3 C.5 D.6 3.设x?R，则“x?5x?0”是“|x?1|?1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
2
D.既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为 A.5 B.8 C.24 D.29
x2y25.已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交
ab2于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 6.已知a?log52，b?log0.50.2，c?0.50.2，则a,b,c的大小关系为
A.a?c?b B.a?b?c C.b?c?a D.c?a?b
7.已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??)是奇函数，将y?f?x?的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为g?x?.若g?x?的最小正周期为2π，且g??????2，?4?则f??3??8??? ?A.?2 B.?2 C.2 D.2
?x2?2ax?2a,x?1,0在R上恒成立，则a的取值8.已知a?R，设函数f(x)??若关于x的不等式f(x)…x?1,?x?alnx,
范围为
A.?0,1? B.?0,2? C.?0,e? D.?1,e?
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2.本卷共12小题，共110分。
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i是虚数单位，则
85?i的值为 . 1?i1??10.?2x?3?是展开式中的常数项为 .
8x??11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
?x?2?2cos?,12.设a?R，直线ax?y?2?0和圆?（?为参数）相切，则a的值为 .
?y?1?2sin?13.设x?0,y?0,x?2y?5，则(x?1)(2y?1)的最小值为 .
xyAB?23,AD?5,?A?30?，点E在线段CB的延长线上，且
14.在四边形ABCD中，AD∥BC,AE?BE，则BD?AE? .
三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b?c?2a，3csinB?4asinC. （Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求sin?2B??????的值. 6?16.（本小题满分13分）
设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为且任一同学每天到校情况相互独立.
（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；
2.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，3
（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 17.（本小题满分13分）
如图，AE?平面ABCD，CF∥AE,（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角E?BD?F的余弦值为
AD∥BC，AD?AB,AB?AD?1,AE?BC?2.
1，求线段CF的长. 3
18.（本小题满分13分）
x2y25设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. 5ab（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON|?|OF|（O为原点），且OP?MN，求直线PB的斜率. 19.（本小题满分14分）
b2?2a2?2,b3?2a3?4. 设?an?是等差数列，?bn?是等比数列.已知a1?4,b1?6，（Ⅰ）求?an?和?bn?的通项公式；
?1,2k?n?2k?1,*k?N（Ⅱ）设数列?cn?满足c1?1,cn??其中. k?bk,n?2,（i）求数列a2nc2n?1的通项公式； （ii）求
??ii??*?ac?n?N?.
i?12n20.（本小题满分14分）
设函数f(x)?ecosx,xg(x)为f?x?的导函数.
（Ⅰ）求f?x?的单调区间； （Ⅱ）当x?????????,?时，证明f(x)?g(x)??x?…0； 422??????（Ⅲ）设xn为函数u(x)?f(x)?1在区间?2m??4,2m?????内的零点，其中n?N，证明2?e?2n?. 2n???xn?2sinx0?cosx0?2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.
1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C
二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分. 9.13 10.28 11.三.解答题
15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分.
π3 12. 13.43 14.?1 44bc，得bsinC?csinB，又由3csinB?4asinC，?sinBsinC42得3bsinC?4asinC，即3b?4a.又因为b?c?2a，得到b?a，c?a.由余弦定理可得
33416a2?a2?a2222a?c?b199cosB????.
2242?a?a3（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sinB?1?cosB?21515，从而sin2B?2sinBcosB??，487cos2B?cos2B?sin2B??，故
8????1537135?7?， sin?2B???sin2Bcos?cos2Bsin???????666828216??
【天津卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学理真题含答案
