江苏省仪征中学2024—2024学年度第一学期高二数学
期中模拟（2） 2024.11.4
后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
一、单项选择题
1、等差数列????中，若??2，??2024为方程??2?10??+16=0的两根，则??1+??1011+??2024等于( )
A. 10
B. 15 C. 20 D. 40
2、对抛物线??=1
8??2，下列描述正确的是( )
A. 开口向上，焦点为(0,2) B. 开口向上，焦点为(0,1
32) C. 开口向右，焦点为(2,0)
D. 开口向右，焦点为(1
32,0)
3、已知椭圆C：
??2??2
+??2
??2=1(??>??>
0)的左、右焦点分别为??1、??2，离心率为√3
3
，过??2的直线
l交C于
A、B两点，若△????1??的周长为4√3，则C的方程为( )
A. ??22
2
22
3+??2
=1
B. ??3+??2=1
C. ??2+??
2
=1 ??128
D. ??
12+4
=1
4、九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则( )天后，蒲、莞长度相等？参考数据：????2=0.3010，????3=0.4771，结果精确到0.1.(注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．)
A. 2.2 B. 2.4
C. 2.6
D. 2.8
5、已知点??1，??2分别为双曲线
??2??
2?
??2??2
=1的左、右焦点，点P在双曲线上，△??1??2??为等腰三角形，且
顶角为120°，则该双曲线的离心率为( ) A. √5+1
√5?12
B. 2
C. 2
D. √3+12
6、一元二次方程??2+(2???1)??+??2=0两个根均大于1的充分必要条件是( )
A. ??
C. ??<0 D. ??>2
7、已知正数满足??+??+1
9
??+??=10，则??+??的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最
A. 3699块 B. 3474块
C. 3402块 D. 3339块
二、多项选择题
9、给出以下四个命题，其中正确的是( )
A. “
”的否定是???∈??,??3???2+1>0；
B. 设????是公差为??(??≠0)的无穷等差数列{????}的前n项和， 若数列{????}有
最大项，则??<0；
C. 已知曲线C：??2
??
2
???5+3???=?1 ，则“4≤??<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的充要
条件；
D. 已知数列{????}的前n项和????=2??+??，若{????}为等比数列，则实数??=?1．
10、已知??∈??，关于x的一元二次不等式??2?6??+??≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以
是( )．
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
11、公差为d的等差数列{????}，其前n项和为????，??11>0，??12<0，下列说法正确的有( )
A. ??<0
B. ??7>0 C. {????}中??5最大 D. |??4|<|??9|
12、将??2个数排成n行n列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中??>0).己知??11=2，??13=??61+1，记这??2个数的和为??.下列结论正确的有( )
A. ??=3
B. ??67=17×37 C. ??ij=(3???1)×3???1
D. ??=1
4??(3??+1)(3???1)
三、填空题 13、已知双曲线C：
??2
??2
√5??2???2=1(??>0,??>0)的一条渐近线方程为??=2
??，且经过点(2,2√5)，则C的
方程为__ ____．
14、已知??>0，??>0，??+2??+2????=3，则??+2??的最小值为______． 15、椭圆??:
??2
+??2
??2
??2=1(??>??>0)左右焦点分别为??1，??2，P为椭圆M上任一点且|????1|?|????2|最大值的取值范围是[2??2,3??2]，其中??=√??2???2，则椭圆离心率e取值范围是_________________． 16、已知lg ??+lg ??=1，且????=lg ????+lg(?????1??)+lg(?????2??2)+?+lg(???????1)+lg ????，则????=________． 四、解答题
17、已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为2√3，焦距为2√5． (1) 求双曲线C的标准方程；
(2) 若直线??:??=√33
???1与双曲线C交于??,??两点，求弦长|????|.
18、已知命题p：不等式????2?????+2>0对一切实数x恒成立，命题q：???1≤??≤??+1． (1) 若??是假命题，求实数a的取值范围；
(2) 若?p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
19、(1) 解不等式???1
2??+1≤0；
(2) 已知a，b，??∈??+，求证：(??+??+??)(1
+1
????+??
)≥4．
20、某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万
元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的125%． (1) 求第n年该设备的维修费????的表达式； (2) 设????=
??1+??2+?+????
??
，若????<40万元，则该设备继续使用，否则须在第n
年对设备更新，求在
第几年必须对该设备进行更新？
21、已知O为坐标原点，椭圆C：??2
??2
??2
+??2=1(??>??>0)上顶点为A，右顶点为B，离心率??=
√22
，圆O：??2+??2=2
3与直线AB相切． (1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为??,??1,??2(????1??2≠0)．
(??)若EF的中点为??(1,1
2
)，求直线EF的方程； (????)若??1??2=?1
2，证明：直线EF过定点．
22、已知数列{????}是各项均不为0的等差数列，公差为d，????为其前n项和，且满足??2??=??2???1，??∈
???.数列{??1
??}满足????=??
???????+1
，????为数列{????}的前n项和．
(1) 求数列{????}的通项公式????和数列{????}的前n项和????；
(2) 若对任意的??∈???，不等式??????
(3) 是否存在正整数??,???(1
江苏省仪征中学2024—2024学年度第一学期高二数学
期中模拟（2）
一、单项选择题： BAAC DAAC
二、多项选择题: 9、 ABD 10、 ABC 11、AD 12、 ACD 三、填空题: 13、 ??215
?
??212
=1 14、 2 15、 [
√33,√22
] 16、 ??(??+1)2 四、解答题 17、解：(1)
??23
?
??22
=1
(2)联立{
??=
√33???1
??2??2=1
???2+2√3???9=0,??=48,∴|????|=8.
3
?
2
18、解：解：(1) 当命题p是真命题时：
当??=0时，????2
?????+2>0可化为2>0，成立； 当??≠0时，{
??>0
??=(???)2?4???2<0,
解得0
则[???1,??+1]是(?∞,0)∪[8,+∞)的真子集， 即??+1<0或???1≥8， 解得 ??
∴实数m的取值范围是(?∞,?1)∪[9,+∞)．
19、解：(1)由???1
2??+1≤0，可得(???1)(2??+1)≤0且2??+1≠0，解得?1
2
2,1]；
证明：(2)因为a，b，??>0，所以(??+??+??)(1
+
1????+??)
=[??+(??+??)](11????+????
??+????+??+??)=2+??+??+
??
≥2+2√??+???
??
=2+2=4，当且仅当??=??+??时等号成立．
故证(??+??+??)(11??
+
??+??
)≥4．
20、解：(1)当1≤??≤6时，数列{????}是首项为20，公差为4的等差数列， ????=20+4(???1)=4??+16；
当??≥7时，数列{????}是首项为??6，公比为5
4的等比数列， 又??6=40，所以????=40×(5)
???6
4．
因此第n年该设备的维修费??4??+16,
(1????6)
??的表达式为????={40×(5
4
)???6,(???7)
． (2)设数列{????}的前n项和为????，由等差及等比的求和公式得， 当1≤??≤6时，????=20??+2??(???1)=2??2+18??，
此时????=
??????
=2??+18≤30<40恒成立，即该设备继续使用；
当??≥7时，????=??6+(??7+??8+?+????)=180+200×[(5
???64)?1] =200×(5
4)???6?20 ， 5此时????=
200×(4)???6?20
??
，
5因为??)???6+20
??+1?????=
50(???4)(4??(??+1)
>0，
即????+1>????所以{????}是递增数列， 又??8=
58516
<40，??9=
296572
>40，
故在第9年必须对该设备进行更新．
21、解：(1) 由题意，直线AB的方程为：??
??
??+??=1，即为????+?????????=0，因为圆O与直线AB相切，所以|????|2
??2??2
2
√??2+??2=√3
，??2+??2=3① 设椭圆的半焦距为c，因为??2+??2=??2，??=
??=
√2??2???2??
2
，所以??2
=1
2
②
由①②得：??2=2，??2=1，所以椭圆C的标准方程为：
??22
+??2=1．
江苏省扬州市仪征中学2024-2024学年度高二第一学期期中考试数学试卷
