立方和与立方差公式
集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
第一阶梯
[例1]我们来计算（a+b）(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式，利用这个公式计算：
(1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(1+2a)(1-2a) (3)(2x3+5y2)(2x3-5y2) (4)(-a2-b2)(b2-a2) 提示：
刚开始使用公式，运算格式可分两步走，第一步先按公式特征写出一个\框架\，如（1）（2x+3y）(2x-3y) =（ ）2-（ ）2，第二步分析哪项相当于公式中的a，哪项相当于公式中的b，并在\框架\中填数计算。 参考答案：
(1)（2x+3y）(2x-3y)=（2x）2-(3y)2=4x2-9y2 (2)(1+2a)(1-2a) =12-(2a)2=1-4a2
(3)(2x+5y)(2x-5y)=(2x)-(5y)=4x-25y
3
2
3
2
32
22
6
4
(4)(-a2-b2)(b2-a2)=(-a2-b2)(-a2+b2)=(-a2)2-(b2)2=a4-b4 说明：
平方差公式（a+b）(a-b)=a2-b2的特征是：
（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项的平方减去相反项的平方，在学习平方差公式时还应注意：
①公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式
②一定要认真仔细地对题目进行观察研究，把不符合公式标准形式的题目加以调整，使它变化为符合公式标准的形式，如第（4）小题。 [例2]计算（a+b）2和（a-b）2,可知（a+b）
2
=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-
2ab+b2,即（a±b）2=a2±2ab+b2，这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式。利用这两个公式计算(1)(x+5)2 (2)(2-y)2
(3)(3a+2b)2 提示：
(5) (-a+2b)2
在套用完全平方公式进行计算时，一定要先弄清题目中的哪个数或式是a，哪个数或式是b。 参考答案：
(1)(x+5)2=x2+2·x·5+52=x2+10x+25
(2)(2-y)=2-2·2·y+y=4-4y+y
2
2
2222
(3)(3a+2b)=(3a)+2·3a·2b+(2b)=9a+12ab+4b
222
(5)(-a+2b)2=(-a)2+2·(-a)·2b+(2b)2=a2-4ab+4b2 说明：
1、（a+b）2=a2+2ab+b2与（a-b）2=a2-2ab+b2都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2、这两个公式的结构特征是：左边是两个相同的二项式相乘，（即二项式的平方形式），右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍。 3、公式中的字母a、b既可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式。
4、只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式，在运用公式时，注意防止发生（a±b）2=a2±b2这样的错误。
[例3]计算（a+b）(a2-ab+b2)和(a-b)(a2+ab+b2)，可知（a+b）(a2-ab+b2)=a2-a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3,（a-b）(a2+ab+b2)=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3=a3-b3,即（a±b）(a2ab+b2)=a3±b3，这就是说，两数和（或差）
乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于这两个数的立方和（或差），这两个公式叫做乘法的立方和公式与立方差公式，利用这两个公式计算：
（1）（x+2）(x2-2x+4); (2)(3-y)(9+3y+y2) ;
（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2); （5）(3x2-2y2)(9x4+6x2y2+4y4) 提示：
先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a，哪个数或式是b，最后再代入公式计算。 参考答案：
（1）（x+2）(x2-2x+4)=(x+2)(x2-x·2+22)=x3+23=x3+8 （2）(3-y)(9+3y+y2)=(3-y)(32+3·y+y2)=33-y3=27-y3
（3）(3x-4y)(9x2+12xy+16y2)=(3x-4y)[(3x)2+3x·4y+(4y2)]=(3x)3-(4y)3=27x3-64y3
立方和与立方差公式
