高中数学易错题集锦
指导教师：任宝安
参加学生：路栋胡思敏
李梅张大山
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。 ?，但与不等价。 【例1】已知f(x)=ax+，若?3?f(1)?0,3?f(2)?6,求f(3)的范围。 ??3?a?b?0①?错误解法由条件得? b3?2a??6?②2?②×2－①6?a?15③ ①×2－②得?8b2???④ 33310b431043③+④得?3a??,即?f(3)?. 33333x，其值是同时受ba和b制约的。当a取最大（小）值时，b不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x)?ax??f(1)?a?b?正确解法由题意有?b,解得： f(2)?2a??2?b1651637?f(2)?f(1).把f(1)和f(2)的范围代入得?f(3)?. 39933在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题 ?f(3)?3a?(1) 设?、?是方程x2?2kx?k?6?0的两个实根，则(??1)2?(??1)2的最小值是 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：????2k,???k?6, 有的学生一看到?49，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如4
果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
? 原方程有两个实根?、?
∴??4k2?4(k?6)?0?k??2或k?3. 当k?3时，(??1)2?(??1)2的最小值是8； 当k??2时，(??1)2?(??1)2的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。 (2)已知(x+2)2+=1,求x2+y2的取值范围。
828错解由已知得y2=－4x2－16x－12，因此x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+ 33∴当x=－时，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范围是(－∞,]。 分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。 事实上，由于(x+2)2+=1?(x+2)2=1－≤1?－3≤x≤－1， 从而当x=－1时x2+y2有最小值1 ∴ x2+y2的取值范围是[1,]。 注意有界性：偶次方x2≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数ax>0，圆锥曲线有界性等。 ●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。 【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。 11111211错解(a+)2+(b+)2=a2+b2+2+2+4≥2ab++4≥4ab?+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小
ababababab值是8. 1分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二
21次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
ab1111112原式=a2+b2+2+2+4=(a2+b2)+(2+2)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4 abababab1 =(1－2ab)(1+22)+4， aba?b211111由ab≤()=得：1－2ab≥1－=,且22≥16，1+22≥17， 2422abab1251∴原式≥×17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)，
22211∴(a+)2+(b+)2的最小值是。
ab●不进行分类讨论，导致错误
【例4】已知数列?an?的前n项和Sn?2n?1，求an. 错误解法an?Sn?Sn?1?(2n?1)?(2n?1?1)?2n?2n?1?2n?1. 错误分析显然，当n?1时，a1?S1?3?21?1?1。 错误原因：没有注意公式an?Sn?Sn?1成立的条件是。
?S1(n?1)因此在运用an?Sn?Sn?1时，必须检验n?1时的情形。即：an??。
?Sn(n?2,n?N)●以偏概全，导致错误
以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。
【例5】(1)设等比数列?an?的全n项和为Sn.若S3?S6?2S9，求数列的公比q.
a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2?错误解法?S3?S6?2S9,?，
1?q1?q1?q由q?0得方程2q?q?1?0.?(2q?1)(q?1)?0,?q??6333342或q?1。 a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2?错误分析在错解中，由， 1?q1?q1?q整理得q3(2q6?q3?1）＝0时，应有a1?0和q?1。 在等比数列中，a1?0是显然的，但公比q完全可能为1，因此，在解题时应先讨论公比q?1的情况，再在q?1的情况下，对式子进行整理变形。 正确解法若q?1，则有S3?3a1,S6?6a1,S9?9a1.但a1?0，即得S3?S6?2S9,与题设矛盾，故q?1.
又依题意S3?S6?2S9a1(1?q3)a1(1?q6)a1(1?q9)??2?）＝0,即??q3(2q6?q3?11?q1?q1?q333(2q?1)(q?1)?0,因为q?1，所以q?1?0,所以2q?1?0.解得q??334. 2说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。 (2)求过点(0,1)的直线，使它与抛物线y2?2x仅有一个交点。
错误解法设所求的过点(0,1)的直线为y?kx?1，则它与抛物线的交点为
?y?kx?1，消去y得(kx?1)2?2x?0.整理得k2x2?(2k?2)x?1?0. ?2?y?2x?直线与抛物线仅有一个交点，???0,解得k?11.?所求直线为y?x?1. 22错误分析此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为y?kx?1时，没有考虑k?0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线
高中数学易错题集锦
