全国初中数学竞赛试题及参考答案
一、 选择题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。）
1、如图，有一块矩形纸片 ABCD， AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB边上，折痕为 AE，再将△ AED沿 DE向右翻折， AE与 BC的交点F，则△ CEF 为
的面积为（ ） A、2 B 、4 C、D、8
6
A
B A D D B
B
F C
A
D
C
E
C
E
答： A
解：由折叠过程知， DE＝ AD＝6，∠ DAE＝∠ CEF＝ 45°，所以△ CEF 是等腰
直角三角形，且 EC＝ 8－ 6＝ 2，所以， S△ CEF＝2
2、若 M＝ 3x 2 8xy 9y 2 4x 6 y 13（ ， 是实数），则 的值一定是（
） x y M A、正数
B
、负数
C
、零
D
、整数
解：因为 M＝ 3x2 8 xy 9 y2 4x 6 y 13 ＝ 2( x 2y) 2 ( x 2) 2 ( y 3)2≥0 且 x 2y ， x 2 ， y 3 这三个数不能同时为 0，所以 M≥0
3、已知点 I 是锐角三角形 ABC的内心， A ， B ，C 分别是 C1
1
1
1
B
A 1
D
点 I 关于边 BC， CA，AB的对称点。若点 B 在△ A1B1C1 的外接
I
圆上，则∠ ABC等于（ ）
A
A、30°B 、45° 、60° 、 90° C D C 答： C B 1 解：因为 IA 1 ＝IB 1＝ IC1＝ 2r （r 为△ ABC的内切圆半径），所以
点 I 同时是△ A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA 1 与 BC的交点为 D，则 IB ＝IA 1 ＝2ID，所以∠ IBD＝ 30°，同理，∠ IBA＝30°，于是，∠ ABC＝60°
4、设 A＝
1
4
1 42
1 1002
48 ( 32
4
) ，则与 最接近的正整数为（
A 4
）
A、18 B 、20
答： D 解：对于正整数 m n ≥ 3 ，
C
、24
D
、25
有
n 2 1)(11
1
4
1 ( 1 4 n 2
1 ) n
2
，
所
以
A ＝
1 ) 102
48 1(1 1
4 2
1
) 12 (1
98 5 6
102
1 1 1 1
2 3 4 99
1 1
100 101
＝ 25 12 ( 1
99
1 1 1 ) 100 101 102
因为12 (
1
99
1 100
)＜12 4 ＜ 1 ，所以与 A 最接近的正整数为 25。 1
101 102 99 2
1
5、设 a、b 是正整数，且满足 56≤a＋b≤59，0.9 ＜ ＜0.91 ，则 b2 a 2 等于（ ）
ab
A、171 B 、177 C 、180 D 、182
答： B
解：由题设得 0.9b ＋ b＜59，0.91b ＋ b＞56，所以 29＜ b＜ 32。因此 b＝30，31。 当 b＝30 时，由 0.9b ＜ a＜ 0.91b ，得 27＜ a＜ 28，这样的正整数 a 不存在。当 b＝31 时，由 0.9b ＜ a＜ 0.91b ，得 27＜ a＜ 29，所以 a＝28。
所以 b 2 a2 ＝177
二、填空题：（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分。）
6、在一个圆形时钟的表面， OA表示秒针， OB表示分针，（O为两针的旋转中心）， 若现在时间恰好是 12 点整，则经过 答： 15 15秒钟后，△ OAB的面积第一次达到最大。
解：设 OA边上的高为 h，则 h≤ OB，所以 S ＝ 1 OA
59
△ OAB
h
≤ OA OB
1 2
2
当 OA⊥ OB时，等号成立。此时△ OAB的面积最大。
设经过 t 秒时， OA与 OB第一次垂直。又因为秒针 1 秒钟旋转 6 度，分针 1 秒钟 旋转 0.1
度，于是（ 6－0.1 ）t ＝90，解得 t ＝ 15
15
7、在直角坐标系中，抛物线 y
x
2
mx
359
4
m 2 （ m＞ 0）与 x 轴交于 A、 B 两点，
若 A、B 两点到原点的距离分别为 OA、OB，且满足
1
1
OB OA
2
3
，则 m的值等于
答： 2
解：设方程 x 2
mx 3 m 2 0 的两根分别为 x1 , x2 且 x1 ＜ x2 ，则有
4
x1 x2
m ＜0， x1 x2
3
4
m 2 ＜ 0
所以有 x1 ＜0， x2 ＞0，由
1
OB
1
OA
x1
2
，可知 OA＞ OB，又 m＞ 0，所以，抛物线的
3
对称轴在 y 轴的左侧，于是 OA
x1 ， OB＝ x2 ，所以由 1
x1
1
x2
2
3
得 m＝2
8、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后 是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按 A、2、3、 J、Q、 K 的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下
把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层， 如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 答：第二副牌中的方块 6
解：根据题意，如果扑克牌的张数为
2， 2 2 ， 2 3 ， 2 n ，那么依照上述操作方
法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有 述操作方法，最后只剩下第 64 张牌。
64 张牌，依照上
现在，手中有 108 张牌，多出 108－64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉 44 张牌，那么此时手中恰好有 64 张牌，而原来顺序的第 88 张牌恰好放在手中牌的最底层。这样，再继续进行丢、留的操作，最后剩下的就是原来顺序的
第 88 张牌。按照两副扑克牌的花色排列顺序， 88－54－ 2－ 26＝6，所剩下的最后一张牌是第二副牌中的方块 6。
9、已知 D、E 分别是△ ABC的边 BC、 CA上的点，且 BD＝4，DC＝ 1， AE＝5，EC＝ 2。连结 AD和 BE，它们相交于点 P，过点 P 分别作 PQ∥CA，PR∥CB，它们分
别与边 AB交于点 Q、R，则△ PQR的面积与△ ABC的面积之比为
答： 400
1089
。
解：过点 E 作 EF∥AD，且交边 BC于点 F， 则 CF
FD
C F D
所以 FD＝ CD＝， CE
EA 5 5 2 7
255
又因为 PQ∥CA，所以
PQ
E
EA
BP BE
BD BF
4
4
5 33
28 ，
P
于是 PQ＝
140
7
A
Q
R
B
33
S S
由△ QPR∽△ ACB，故
PQR CAB
(
PQ
)
2
CA
20 2 400 ( ) 33 1089
10、已知 x1 , x2 , ， x40 都是正整数，且 x1
x2
x40
58 ，若 x12 x22
x 402
的最大值为 A，最小值为 B，则 A＋B 的值等于
答： 494
。
解：因为把 58 写成 40 个正整数的和的写法只有有限种， 故 x12 x22 小值和最大值是存在的。
x402 的最
不妨设 x1 ≤ x2 ≤ ≤ x40 ，若 x1 ＞1，则 x1 ＋ x2 ＝ ( x1
( x 1) 2
1
1) ( x2 1) ，且
( x
2
1) 2 x 2
1
x2 2( x
2
2
x ) 2 ＞ x2
1
1
x 2
2
所以当 x1 ＞1 时，可以把 x1 逐步调整到 1，这时， x12 地，可以把 x2 ， x3 ， x39 逐步调整到 1，这时 x12 当 x1 ， x2 ， x39 均为 1， x40 ＝19 时， x12 x22 A＝12
x22 x402 将增大；同样 x402 将增大。于是，
x22
x402 取得最大值，即
12
12 19 2
400 。
39 个
若存在两个数 xi ， x j ，使得 x j － xi ≥2 ( 1 ≤i ＜j ≤ 40 ），则
初三奥数竞赛试题及答案
