同角三角函数基本关系式和诱导公式 编稿：李霞 审稿：孙永钊
【考纲要求】
1.理解并熟练应用同角三角函数的基本关系式：sinx?cosx?1,tanx?握已知一个 角的三角函数值求其他三角函数值的方法.
2.能熟练运用诱导公式，运用任意角的三角函数值化简、求值与证明简单的三角恒等式. 【知识网络】
同角三角函数基本关系式和诱导公 式 【考点梳理】
考点一、同角三角函数基本关系式
1．平方关系：sin??cos??1;2．商数关系：tan??2222sinx,tanxcotx?1，掌cosx同角三角函数基本关系式 诱导公式
sec2??1?tan2?;csc2??1?cot2?.
sin?;cos?cot??cos?. sin?3．倒数关系：tan??cot??1;sin?csc??1;要点诠释：
cos??sec??1
①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式.
②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如1?sin??cos?，
221?sec2??tan2??tan45o?L，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法
及方程思想的运用. 考点二、诱导公式
sin(???)??sin?,sin(??)??sin?,sin(???)?sin?,cos(???)??cos?, cos(??)?cos?, cos(???)??cos?,
tan(??)??tan?.tan(???)?tan?.tan(???)??tan?.sin(??)?cos?,sin(??)?cos?,22 ??cos(??)?sin?.cos(??)??sin?.22sin(3?3???)??cos?,sin(??)??cos?,22
3?3?cos(??)??sin?.cos(??)?sin?.22??要点诠释：
（1）两类诱导公式的记忆，经常使用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇变”是指所涉及的轴上角为
?3??的奇数倍时（包括4组：??，??）函数名称变为原来函数222?的偶数倍时（包括5组：2k???,??,???,2???）, 函数名2的余函数；其主要功能在于改变函数名称.
“偶不变”是指所涉及的轴上角为
称不变，其主要功能在于：求任意角的三角函数值，化简及某些证明问题.
（2）诱导公式的引申：
sin(k???)?(?1)ksin?,cos(k???)?(?1)kcos?, tan(k???)?tan?.(k?Z)【典型例题】
类型一、同角三角函数基本关系式及诱导公式
4?，??(,?)，求cos?、tan?的值． 5234【答案】cos???，tan???.
53432【解析】方法一：∵sin??，∴cos???1?sin???，
55例1. 已知sin?? ∵??(?2,?)，
3sin?4，tan????. 5cos?3∴cos???方法二：∵??(?2,?)，∴cos??0，tan??0
34，tan???. 532由图形可以知道：cos???2【总结升华】①利用公式：sin??cos??1求解时，要注意角的范围，从而确定三角函数值的符号；②三角赋值法多用于选择题和填空题，其理论基础源于“实数由符号和绝对值两部分组成”.
举一反三：
【变式1】已知cos??1?，??(?,0)，求sin?、tan?. 42【答案】sin???15；tan???15． 41512，∴sin???1?cos???，
44【解析】∵cos?? ∵??(??2,0)，
15sin?，tan????15. 4cos?∴sin???【变式2】已知??(?,【答案】
3?)，tan??2，求cos?. 24. 3类型二、三角函数式的求值、化简与证明
1cos(3???)cos(??2?)，求 ?33cos(??)[cos(???)?1]10cos?sin(???)?cos?211【解析】由题有?sin???lg310??，?sin??，
33例2.已知sin(???)?lg原式??cos?cos??
cos?[?cos??1]cos?(?cos?)?cos??1122????18
1?cos?1?cos?1?cos2?sin2?【总结升华】（1）三角函数式的值应先化简再代入求值；（2）应用诱导公式的重点是“函数名称”与“符号”的正确判断，常用十字口决：“奇变偶不变，符号看象限”.
举一反三： 【变式1】若cos(??3?3sin(???)cos(2???)tan(2???). )?，求f(?)?3?25tan(????)cos(???)2【答案】?4 5334，?sin???,?cos???， 555?sin?cos(??)tan(??)sin?cos?tan?4原式????cos???
3??tan?sin?5tan(??)cos(??)2【解析】由题有?sin??例3.化简
sin(k???)cos?(k?1)????sin?(k?1)????cos(k???),k?Z
【解析】（1）当k?2n,n?Z时，
原式?sin(??)cos(????)?sin?(?cos?)???1；
sin(???)cos??sin?cos?（2）当k?2n?1,n?Z时， 原式?sin(???)cos(??)sin?cos???1.
sin?cos?sin?cos?【总结升华】当三角函数式中含有k?时，不能直接运用诱导公式进行变形，需对k分奇偶进行讨论.
举一反三：
cot(??)sin(??5?)cos(8???)2【变式1】化简 ??3?tan(3???)tan(??)sin(???4?)2【答案】sin?
【解析】原式??sin(???)tan?cos(??)?sin?tan?cos???????sin?
tan(??)?cot?sin(??)?tan??cot??sin?sin???(2n?1)???2sin???(2n?1)??sin(??2n?)cos(2n???)
【变式2】化简
【答案】?3 cos?sin?(???)?2n???2sin?(???)?2n??sin(??2n?)cos(2n???)
【解析】原式??sin(???)?2sin(???)?sin??2sin?3 ???sin?cos?sin?cos?cos?sinx|cosx|tanx??的值. |sinx|cosx|tanx|【高清课堂：三角函数的概念xxxxxx 例4】 【变式3】求
【答案】当x为第一象限角时，值为3；当x为第二、三、四象限角时，值为-1.
sin??tan??sin?
cot??csc?sin?sin??sin?(cos??sin?)cos? 【解析】左边??cos?1cos??sin?sin?例4.证明tan?(cos??sin?)?sin?(cos??sin?)sin2???
cos?cos??sin??cos??sin?=右边
cos?【总结升华】证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法为（1）从一边开始证得另一边；（2）证明左右两边都等于同一个式子；（3）分析法．三角变化中还要注意使用“化弦法”.
举一反三：
1?sin?1?cos? ?cot??1?cos?1?sin?1?sin?1?cos?【解析】分析法：要证tan??成立， ?cot??1?cos?1?sin?【变式】证明tan??tan?1?cos2??只要证成立 cot?1?sin2?sin2?只要证tan??成立
cos2?2因为上式是成立的，所以原式成立.
类型三、三角函数问题中的齐次式问题----整体代换思想 例5.已知 sin(3???)?2sin(（1）
3???)，求下列各式的值： 2sin??4cos?; （2）sin2??sin2?
5sin??2cos?3?【解析】方法一：由sin(3???)?2sin(??)可得?sin???2cos?，即tan??2，
2tan??42?41（1） 原式????.
5tan??25?2?26sin2??2sin?cos?tan2??2tan?8??. （2） 原式?sin??2sin?cos??222sin??cos?tan??152方法二：由已知得sin??2cos?， （1） 原式?2cos??4cos?1??.
10cos??2cos?62sin2??2sin?cos?sin2??sin2?8??（2） 原式?sin??2sin?cos??. 221sin??cos?sin2??sin2?54【总结升华】
已知tan??m的条件下，求关于sin?,cos?的齐次式问题，解这类问题必须注意以下几点： 1. 一定是关于sin?,cos?的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式.
2. 因为cos??0，所以可以用cos?(n?N)除之，这样可以将被求式化为关于tan?的表达式，
可整体代入tan??m，从而完成被求式的求值运算. 3. 注意1?sin??cos?的应用. 举一反三：
【变式】已知tan??2,则sin??sin?cos??2cos??（ ）
22n*22
同角三角函数基本关系式和诱导公式
