数列求和的方法技巧
数列求和是数列的重要内容之一,在现行高中教材中,只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导,而数列种类繁多,形式复杂,绝大多数既非等差数列又非等比数列,也就不能直接用公式来求解。对于这种非常规数列的求和问题,针对具体情况,现归结为以下几种方法,供大家参考。 一、倒序相加法
此法来源于等差数列求和公式的推导方法。 例1. 已知解:
求
。 ①
把等式①的右边顺序倒过来写,即①可以写成以下式子:
②
把①②两式相加得
二、错位相消法
此法来源于等比数列求和公式的推导方法。 例2. 求数列解:设
的前n项和。
当当
时,时,
①
②
①式两边同时乘以公比a,得
①②两式相减得
三、拆项分组法
把一个数列分拆成若干个简单数列(等差数列、等比数列),然后利用相应公式进行分别求和。
例3. 求数列
解:设数列的前n项和为
,则
的前n项和。
当当
时,时,
说明:在运用等比数列的前n项和公式时,应对q=1与
四、裂项相消法
的情况进行讨论。
用裂项相消法求和,需要掌握一些常见的裂项技巧。如
例4. 求数列的前n项和。
解:
五、奇偶数讨论法
如果一个数列为正负交错型数列,那么从奇数项和偶数项分别总结出例5. 已知数列解:①
当
时
求该数列的前n项和
。
与n的关系进行求解。
对n分奇数、偶数讨论求和。
,
②当时,
六、通项公式法
利用例6. 已知数列
,问题便转化成了求数列
的通项问题。这种方法不仅思路清晰,而且运算简洁。
。
求该数列的前n项和
解:
即
∴数列是一个常数列,首项为
七、综合法
这种方法灵活性比较大,平时注意培养对式子的敏锐观察力,尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。 例7. 已知
分析:注意观察到:
求
其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。 解:①当n为奇数时,由以上的分析可知:
②当n为偶数时,可知:
由①②可得
说明:对于以上的各种方法,大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然,数列求和的方法还有很多,大家平时还应多注意总结。
高考数学复习系列专题例题习题及解析:数列求和的方法技巧
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