高考数学复习系列专题例题习题及解析：数列求和的方法技巧

数列求和的方法技巧

数列求和是数列的重要内容之一，在现行高中教材中，只对等差数列和等比数列的求和公式进行了计算推导，而数列种类繁多，形式复杂，绝大多数既非等差数列又非等比数列，也就不能直接用公式来求解。对于这种非常规数列的求和问题，针对具体情况，现归结为以下几种方法，供大家参考。 一、倒序相加法

此法来源于等差数列求和公式的推导方法。 例1. 已知解：

求

。 ①

把等式①的右边顺序倒过来写，即①可以写成以下式子：

②

把①②两式相加得

二、错位相消法

此法来源于等比数列求和公式的推导方法。 例2. 求数列解：设

的前n项和。

当当

时，时，

①

②

①式两边同时乘以公比a，得

①②两式相减得

三、拆项分组法

把一个数列分拆成若干个简单数列（等差数列、等比数列），然后利用相应公式进行分别求和。

例3. 求数列

解：设数列的前n项和为

，则

的前n项和。

当当

时，时，

说明：在运用等比数列的前n项和公式时，应对q＝1与

四、裂项相消法

的情况进行讨论。

用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项技巧。如

例4. 求数列的前n项和。

解：

五、奇偶数讨论法

如果一个数列为正负交错型数列，那么从奇数项和偶数项分别总结出例5. 已知数列解：①

当

时

求该数列的前n项和

。

与n的关系进行求解。

对n分奇数、偶数讨论求和。

，

②当时，

六、通项公式法

利用例6. 已知数列

，问题便转化成了求数列

的通项问题。这种方法不仅思路清晰，而且运算简洁。

。

求该数列的前n项和

解：

即

∴数列是一个常数列，首项为

七、综合法

这种方法灵活性比较大，平时注意培养对式子的敏锐观察力，尽量把给定数列转化为等差或等比数列来处理。 例7. 已知

分析：注意观察到：

求

其他可依次类推。关键是注意讨论最后的n是奇数还是偶数。 解：①当n为奇数时，由以上的分析可知：

②当n为偶数时，可知：

由①②可得

说明：对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。