第一部分 专题六 第3讲
1．(2016·陕西西安调考)已知椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上且C1的中心和C2
的顶点均为坐标原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标如下表所示：
x y (1)求C1，C2的标准方程； π
(2)过点A(m,0)作倾斜角为的直线l交椭圆C1于C，D两点，且椭圆C1的左焦点F在
6以线段CD为直径的圆的外部，求m的取值范围．
解析：(1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故x2y2
(3，1)在椭圆上，所以椭圆C1的方程为＋＝1，抛物线C2的方程为y2＝9x.
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(2)设C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线l的方程为y＝
3
(x－m)， 3
1 －3 －6 0 4 －6 3 1 ?y＝33x－m由?xy
?6＋2＝1，
2
2
，
消去y整理得2x2－2mx＋m2－6＝0，
由Δ>0得Δ＝4m2－8(m2－6)>0， 即－23 而x1x2＝，x1＋x2＝m， 2故y1y2＝ 33 (x1－m)·(x2－m) 33 1 ＝[x1x2－m(x1＋x2)＋m2] 3m2－6＝. 6 欲使左焦点F在以线段CD为直径的圆的外部， →→则FC·FD>0，又F(－2,0)， →→即FC·FD＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2＋4>0. 整理得m(m＋3)>0，即m<—3或m>0. ② 由①②可得m的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)． 12．(2016·天津模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一 2 个顶点恰好是抛物线x2＝83y的焦点． (1)求椭圆C的方程； (2)已知点P(2,3)，Q(2，－3)在椭圆上，点A，B是椭圆上不同的两个动点，且满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由． x2y2 解析：(1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)， abc1 则b＝23.由＝，a2＝c2＋b2，得a＝4， a2x2y2 ∴椭圆C的方程为＋＝1. 1612 (2)当∠APQ＝∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0， 设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k， y－3＝kx－??22 PA的直线方程为y－3＝k(x－2)，由?xy ＋??1612＝1，整理得(3＋4k2)x2＋8(3－2k)kx＋4(3－2k)2－48＝0， x1＋2＝ k－k ， 3＋4k2， 同理PB的直线方程为y－3＝－k(x－2)， －8k－2k－ 可得x2＋2＝ 3＋4k28k＝k＋3＋4k2， 16k2－12－48k ∴x1＋x2＝， 2，x1－x2＝3＋4k3＋4k2y1－y2∴kAB＝ x1－x2kx1－＝ ＋3＋kx2－x1－x2 －3kx1＋x2－4k1＝＝， 2x1－x2 1 所以直线AB的斜率为定值. 2 x2y2 3．(2016·山西太原一模)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是点F1，F2，其 ab14π 离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为. 23 (1)求a，b的值； →→→→→→(2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，且满足F1A∥F1C，F1B∥F1D，AC·BD→→ ＝0，求|AC|＋|BD|的取值范围． 解析：(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2内切圆面积取最大值，设 4π23此时△PF1F2内切圆半径为r，则πr2＝，r＝. 33 1 此时S△PF1F2＝·|FF|·|OP|＝bc， 212 123 又∵S△PF1F2＝·(|F1F2|＋|F1P|＋|F2P|)·r＝(a＋c)， 23231 ∴bc＝(a＋c)，∵e＝，∴a＝2c， 32∴b＝23，a＝4. →→→→→→ (2)∵F1A∥F1C，F1B∥F1D，AC·BD＝0， ∴直线AC与BD垂直相交于点F1， x2y2 由(1)得椭圆的方程为＋＝1， 1612则F1的坐标为(－2,0)， →→ ①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易知|AC|＋|BD|＝6＋8＝14， ②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，其方程为y＝k(x＋2)， y＝kx＋，??22 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，联立?x y ＋＝1，??1612消去y，得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0， ?? ∴?16k－48 xx＝，??3＋4k 2 12 2－16k2x1＋x2＝， 3＋4k2 → ∴|AC|＝1＋k2|x1－x2|＝ k2＋3＋4k2， 1 此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)． k ?同理，由?xy ＋?1612＝1 2 2 1 y＝－x＋ k ＋→ ，可得|BD|＝ k2＋3k2＋4 ， →→∴|AC|＋|BD|＝ k2＋4k2＋3k2＋3k2＋4 ＝k2＋k2＋ 2 k2＋ ， →→ 令t＝k2＋1(k≠0)，则t>1，∴|AC|＋|BD|＝ 168 ， t－112＋2t t－11 ∵t>1，∴0<2≤， t4
高考数学理科二轮(通用版)复习练习：1.6.3圆锥曲线的综合问题(含答案)
