第三章 多维随机变量及其分布
一、填空题
1、随机点(X,Y)落在矩形域[x1?x?x2,y1?y?y2]的概率为 F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?F(x1,y2).
2、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(??,y)? 0 . 3、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x?0,y)?F(x,y) 4、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,??)?FX(x) 5、设随机变量(X,Y)的概率密度为
?k(6?x?y)f(x,y)??0?0?x?2,2?y?4其它，则k? 1 . 86、随机变量(X,Y)的分布如下，写出其边缘分布. Y X 1 3 0 0 1 2 3 0 P?j 6 82 8 ????3 80 3 80 1 81 8Pi? 1 83 83 81 87、设f(x,y)是X,Y的联合分布密度，fX(x)是X的边缘分布密度，则
?f(x)? 1 .
X8、二维正态随机变量(X,Y)，X和Y相互独立的充要条件是参数?? 0 .
9、如果随机变量(X,Y)的联合概率分布为
1 2 3 X 1 2 111 69181 ? ? 3则?,?应满足的条件是 α?β?42? ；若X与Y相互独立，则?? ，?? .
1818??10、设X,Y相互独立，X~N(0,1),Y~N(0.1)，则(X,Y)的联合概率密度
1e f(x,y)? 2??x2?y22 ，Z?X?Y的概率密度fZ(Z)? 12?2e?x24 .
12、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为
111?A???x?0,y?0? F?x,y???则 A =__1___。 ?1?x?y?2?1?x?2?1?y?2?0 ?二、证明和计算题
1、袋中有三个球，分别标着数字1,2,2，从袋中任取一球，不放回，再取一球，设第一次取的球 上标的数字为X，第二次取的球上标的数字Y，求(X,Y)的联合分布律.
1?0 311 P{X?1,Y?2}??1?
33211 P{X?2,Y?1}???
323211 P{X?2,Y?2}???
323解：P{X?1,Y?1}? X Y 1 2 1 0 2 1 31 31 3
2、三封信随机地投入编号为1,2,3的三个信箱中，设X为投入1号信箱的信数，Y为投入2 号信箱的信数，求(X,Y)的联合分布律. 解：X的可能取值为0,1,2,3
Y的可能取值为0,1,2,3
1 P{X?0,Y?0}?3
3
2C333P{X?0,Y?1}?3P{X?0,Y?2}?3?3
333
P{X?0,Y?3}?1 33P{X?1,Y?0}?33?2 P{X?1,Y?1}?33332C33?1 P{X?1,Y?2}?3 P{X?1,Y?3}?0 P{X?2,Y?0}?3
333 P{X?2,Y?2}?0 P{X?2,Y?3}?0 331 P{X?3,Y?0}?3 P{X?3,Y?1}?P{X?3,Y?2}?P{X?3,Y?3}?0
3X 0 1 2 3 Y 13310 27272727363 1 0 27272733 2 0 0 272713 0 0 0 27 P{X?2,Y?1}??13、设 函 数 F(x , y) = ??0x?2y?1x?2y?1；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的
联 合 分 布 函 数 并 说 明 理 由 。
解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数
因 P{0 < 2， 0 < 1}= F(2 , 1)
F(0 , 1) ??F(2 , 0) + F(0 , 0) ??1 < 0 ??= 1??1??1 + 0 =
故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。
?2g(x2?y2)??,0?x,y????224、设g(x)?0,且?g(x)dx?1，有f(x,y)?? [?x?y]0?其它?0,证明：f(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。
证明：易验证f(x,y)?0，又?2?????????f(x,y)dxdy???0????2g(x2?y2)0?x?y22dxdy
? ＝
??20d????0??g(r)rdr??g(r)dr?1
0r符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。
天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解
