概率论计算：
1．已知在10只晶体管中有2只次品，在其中取两次，作不施加抽样，求下列事件的概率。（1）两只都是正品？（2）两只都是次品？（3）一只是正品，一只是次品？（4）第二次取出的是次品？ 解：设A1、A2表示第一、二次取到正品的事件，由等可能概型有：(1)
P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)8728???10945
(2)
P(A1,A2)?P(A1)P(A2|A1)?211??10945P(A1A2)?P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)8228????10910916?45
(3) (4)
P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)82211?????1091095
2．某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件厂提供的，根据以往记录有如下数据~~~设三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。（1）在仓库中随机地取一只晶体管，求它是次品的概率。（2）在仓库中随机地取一只晶体管，发现是次品，问此次品是一厂产品的概率？
解：设Bi（I=1,2,3）表示任取一只是第I厂产品的事件，A表示任取一只是次品的事件。 （1）由全概率公式
P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)?P(B3)P(A|B3)?0.5?0.02?0.80?0.01?0.05?0.03?0.0125P(B1)P(A|B1)P(A)0.15?0.02??0.240.0125P(B1|A)?（2）由贝叶斯公式
3．房间里有10个人，分别佩戴从1号到10叼的纪念章，任选三人记录其纪念章的号码，求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。 解：由等可能概型有： （1）（2）
P?2C51?312C10;
2C1C42?3P?35C62C4P??1320C104．6件产品中有4件正品和2件次品，从中任取3件，求3件中恰为1件次品的概率。 解：设6件产品编号为1，2??6，由等可能概型
ke5．设随机变量X具有概率密度f(x)?????3x,x?0x?0??0,??k??1??ke?3xdx??e?3xd3x030k?所以k?33
。（1）确定常数k；（2）求P（X>0.1）
f(x)dx?1有解：（1）由???????0.13e?3xdx?0.7408（2）
P(x?0.1)??
6．一大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明，在任一时刻t，每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至多有3个设备被使用的概率是多少？（3）至少有1个设备被使用的概率是多少？
解：由题意，以X表示任一时刻被使用的设备的台数，则X~b(5,0.1)，于是 （1）
20.120.93?0.0729 P(X?2)?C5（2）
P(X?3)?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?1?P(X?3)?1?[P(X?4)?P(X?5)]40.140.9?C50.15?1?[C55?0.9995
（3）
P(X?1)?1?P(X?0)00.100.95?1?C5?0.40951
?x?,f(x)??8?0,?0?x?4,,其它7．设随机变量X的概率密度为求P(1?x?3) 解：
P(1?x?3)??1?23x8dx
8．由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数μ=10.05，σ=0.06的正态分布，规定长度在范围10.05±0.12内为合格品。求一螺栓为不合格品的概率。 解：由题意，所以为
1?P(10.05?0.12?x?10.05?0.12)0.12?0.12)??()]0.060.06?2[1??(2)]?1?[?(?0.0456(2?x?5),P(?4?x?10),9．设X~N（3，22）求：（1）P P(|x|?2),P(x?3)
（2）P(x?c)?P(x?c) 解：（1）
5?32?3P(?4?x?10))??()2210?3?4?3??()??()??(1)??(?0.5)22??(3.5)??(?3.5)??0.5328?0.9996P(|x|?2)?1?P(|x|?2)P(2?x?5)??(
?1?P(?2?x?2)?1?[?(?0.69772?3?2?3)??()]22
（2）由P>c=P(x≤c)，即
P(X?3)?1??(0)?0.51??(c?3c?3)??()22c?31?()?22c?3?0,所以c?32
10．设随机变量X的分布律为 X --0 1 3 2 1 11111P 16515302 求Y=X2的分布律。 解：Y=X2的全部取值为0，1，4，9且P（Y=0）=P（X=0）=1， 517P（Y=1）=P（X=-1）+P（X=1）=1， ??61530P（Y=4）=P（X=-2）=1， 5P（Y=9）=P（X=3）=11故Y的分布律为 30X 0 1 4 9 P 17111530530 ??(2x?y),??0,其它x?0,y?02e11．设二维随机变量（x，y）具有概率密度f(x)???（1）求分布函数F（x，y）； （2）求概率P（Y≤X） 解：（1）
F(x,y)??xyf(x,y)dxdy?????x?0,y?0x?(2x?y)?ydx??dy?2e0??0?0,其它???(1?e?2x)(1?e?y),??其它??0,（2）
x?0,y?0P(Y?X)???f(x,y)dxdy???????(2x?y)1[?2edx]dy?0y3
12．已知（X，Y）的联合分律为 0 1 X Y 1 1/8 1/4 2 1/4 3/8 求X及Y的边缘分布律。 解：X的分布律为 X 0 1 5P 3 88
Y的分布律为 X 1 2 5P 3 88
6,13．设随机变量（X，Y）的联合概率密度为f(x,y)???0,?0?x?1其它，边缘概率密度fx(x),fy(y)。
解：
fx(x)??????f(x,y)dy?x?6dy,0?x?1????x2?其它??0,??6(x?x2),0?x?1??其它??0,fy(y)??????f(x,y)dx
?y?6dx,0?y?1????y?其它??0,?0?y?1?6(y?y),??其它??0,
14．设（X，Y）的概率密度为?k(6?x?y),0?x?2,?f(x,y)??2?y?4?0,其它?
（1）确定常数k；（2）求P（X<1，Y<3）；（3）求边缘概率密度fx(x) 解：（1）
??????f(x,y)dxdy24??dx?k(6?x?y)dy?8k,021由8k?1,得k?8????
（2）
P(X?1,Y?3)1313??dx?(6?x?y)dy?0288
（3）
Fx(x)??????f(x,y)dy?41(6?x?y)dy,0?x?1????28?0,其它??6?2x???0,0?x?1其它
15．设随机变量X的分布律为 X -2 0 2 P 0.4 0.3 0.3 求E(X),E(X2),E(3X2?5) 解：
E(X)??2?0.4?0?0.3?2?0.3??0.2E(X2)?(?2)2?0.4?02?0.3?22?0.3?2.8E(3X2?5)?3E(X2)?5?13.4
16．设X—b(n,p),求E(X),D(X) 解:设X?X1?X2?...?Xn,其中??1,第i次发生Xi??(i?1,2,...,n)??0,反之且X1,X2,...,Xn相互独立,于是E(X)?E(X1)?E(X2)?...?E(Xn)?npD(X)?D(X1)?D(X2)?...?D(Xn)?np(1?p)
17．设随机变量X在(a,b)上服从均匀分布，求E（X），D（X）。 解：X的概率密度为
?1,a?x?b?f(x)??b?a?0,其它???b1E(X)??xf(x)dx??xdx??2b?aa?b2??E(X2)??x2f(x)dx??1a2ab?b2b??x2dx?2b?a32D(X)?E(X)?[E(x)]2???a2?ab?b2(a?b)2?34(b?a)212
18．设随机变量X服从分布，其概率密度为 x????1e?,x?0f(x)??,其中??0是???0,x?0?常数,求E(X),D(X).x??1??解:E(X)??Xedx??0?x??21??2E(X)??Xedx?2?20?D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?2??2??2
19．已知X—N（μ，σ2），求E（X），D（X）。
1??解:E(X)??x??2??x???(设为t)(x??)22e2?dx??t21???(?t??)e2dt??2????E(X2)???(设x?????x?t)??212??(x??)22e2?dx
?t21??222??(?t??)e2dt????2???D(X)?E(X2)?[E(X)]2???2??2??2??220．在总体N（52，6.33）中随机抽一容量为36的样本，求样本平均值X落在50.8到53.8之间的概率。 解:P(50.8?X?53.8)????50.8?52X?5253.8?52?P????6.36.3??6.3??666???1.8???1.2?????1.05??????1.05????????(1.71)??(?1.14)?0.8293
21．已知X—t(n)，求证X2—F(1，n) 证明:由X?t(n)必有X?UV/n其中U~N(0,1),V~x2(n),且U与V相互独立.于是U2U2/1x2??V/VV/n由F分布定义即知x2?F(1,n)
22．设X1,X2,...Xn为总体的一个样本，求下列各总体的密度函数中未知参数的极大似然估计量。
???c?x?(??1),x?c(1)f(x)??,0,x?c??其中c?0为已知,??0,?为未知参数???1,0?x?1?(2)f(x)???x,?0,其它?其中??0,?为未知参数解:(1)似然函数为L(?)?ni?1nn??c?(X1X2...Xn)?(??1)dlnL(?)似然方程为d?nn??nlnc??lnxi?0,解得?i?1n???n?lnXi?nlnci?1(2)似然函数为L(?)?n??x??1??c?xi?(??1)i?1n??2(X1X2....Xn)??1dlnL(?)d?n1n???lnxi?0,2?2?i?1n2??解得?n(?lnXi)2i?1似然方程为
23．设总体为随机变量X，且E（X）=a（常数，未知），试说明样本平均值X是a的无偏估计量。
概率论(计算)习题
