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s3 20 10
s2 2.5 10
s1 90 s0
10
表中第一列元素变号两次，故右半
s 平面有两个闭环极点，系统不稳定。
对辅助方程 5s4
5s2 10 0 化简得
( s2 1)(s2 2) 0
①
由
D(s) / 辅助方程，得余因式为
②
求解①、②，得系统的根为
s
1,2
j 2s
3,4
1
s5 1
s6
5
所以，系统有一对纯虚根。
3-9 已知单位反馈系统的开环传递函数
G ( s)
100
（ 1）
(0.1s 1)( s 5)
G( s)
50
（２）
s(0.1s 1)( s 5)
10( 2s 1)
G( s)
（３）
s2 ( s2
6s 100)
试求输入分别为 r (t )
2t 和 r (t)
2 2t t 2 时，系统的稳态误差。
分析：
用静态误差系数法求稳态误差比用误差传递函数求解更方便。 对复杂的输入表达式，为典型输入函数的线性组合， 再利用静态误差系数法分别求各典型输入引起的误差， 加起来即为总的误差。 解 （1） 判别系统的稳定性
D( s) (0.1s
1)(s 5) 100 0
10D (s) ( s 10)(s
5) 1000 s2
15s 1050 0
s2 1 1050
s1 15 s0 1050
可见，劳思表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K ＝ 100/5=20, 系统的型别e
0
，
2
2 2 ss1
0.095
当 r1 (t)
时，
p 1
20
e1 K 2
ss2 2
当 r2 (t)
2t 时，
K v
0
2
r
2 3 (t) t
2
2 t
e
2 ss3
当
2 时，
K a
0
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可分解最后叠
(s-1)(s+5)=0
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所以， ess
e
r
t
2t
2
，
ss
2
r 2 2t
(2) 判断稳定性
21
D( s) s(s 10)(s 5) 500 s3 15s2 50s 500
s4 s3 s2
1 6 96.7
100 20 10
562
10
s1
29
s0 10
劳斯表中首列系数全部大于零，该系统稳定。 求稳态误差
K ＝ 10/100=0.1, 系统的型别
2 ，
当 r1 (t)
2
ess1
2 1 K p
2 K v
2
0
时，
e
ss2
2
1
＝0
当 r2 (t)
2t 时，
r3 (t) t 2 2 t 2 ess3
2 时， 当
0
e
e
2 ＝20 K a 0.1
r
t 2 2t t
2
ss
ss
0
0
20＝20
r
3-11 设随动系统的微分方程为
１、
T1 d 2 c(t )
dt 2
T2 db(t) b(t)
dt Ｔ
和 K 为正常数。若要求 r(t)=1+
dc(t ) K 2u(t )
dt
u(t) K 1[ r (t) b(t)]
c(t )
其中， T t 时， c(t) 对 r(t) 的稳态误差不大于正常
２ ２
数ε ０，试问 K１应满足什么条件 ?
分析：先求出系统的误差传递函数，再利用稳态误差计算公式，根据题目要求确定参数。 解：对方程组进行拉普拉斯变换，可得
(T1 s2 s)C( s) K 2U (s) U ( s) K1[ R(s) (T2 s 1)B(s)
B( s)] C( s)
按照上面三个公式画出系统的结构图如下：
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R
u
k1
1 T2 s 1
k2 s(T1s 1)
C
B
定义误差函数
e ( s)
E( s)E( s)
R( s)
R(s) C (s)
R( s) C (s)
R(s)
1
C ( s)
R( s)
1 (s) 1
1
K1K 2
s(T1 s 1)
K
1K 2
所以
s(T1 s 1)(T2 s 1)
1
K1 K 2T2s K1K 2
s K1 K2
e
TT1 2 s3 (T1 T2 )s2
ss
3
lim sE(s)
s 0
lim s
s 0
e ( s) R(s)
lim s[1
s 0
K1 K 2T2s K1K 2
2
](
1 1 )
2
TT1 2 s (T1 T2 )s s K1 K 2 s s
1 K1K 2T 2
0
e
K1K2
ss
1 K1K2T2
K1K
2
k1
1
令
，可得
k(
2 o
T)
k1
1
k2 ( o
2 ，因此，当
T)2 时，满足条件。
第 四章
4-4
设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图
( 要求确
定分离点坐标 d) ：
G (s)
(1)
K
G ( s)
K (s s(2s
1) 1)
s(0.2s 1)(0.5s 1)
（ 2）
K s(0.2s 1)(0.5s 1) s(s 2)( s 5)，解： (1) 10K
① n＝ 3，根轨迹有 3 条分支；
② 起点： p1＝0， p2＝ -2 ， p3＝ -5 ；没有零点，终点： 3 条根轨迹趋向于无穷远处。
G(s)
K
K *
*
③ 实轴上的根轨迹： [-2,0],(
a
, 5]; 7 3 ， 1
5
0
a
0 2 5
3 1
(2K 1)
,
3
；
④ 渐进线：
3
1
⑤ 分离点： d d
求解得： 1
作出根轨迹如图所示：
d3.79
2 d
（舍去）， d
2
0.88；
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G( s)
K ( s 1)
K * (s 1)
(2)
① n＝ 2，根轨迹有 2 条分支；
s(2s 1)
s( s 0.5) ， K
*
0.5K
m 1条根轨迹趋向于无穷远② 起点： p1＝0， p2＝ -0.5 ，；终点： ③ 实轴上的根轨迹： [-0.5,0],(
z1
1
， n 处。
, 1];
1
1 d 0.5
1
④ 分离点： d
d 1
求解得： 0.29， d2 作出根轨迹如图所示：
d1
1.707；
4-6 设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，要求：
G( s)
确定
K (s z)
s ( s 10)( s
2
20) 产生纯虚根为±ｊ 1 的ｚ值和 K 值。
30s3 200s2 K * s K * z 0
解： D (s) 令
s
s2 (s 10)(s 20) K * (s z) s4
j 代入 D (s)
0
，并令其实部、虚部分别为零，即：
Re[D ( j1)] 1 200 K*
解得： K 30, z 6.63 画出根轨迹如图所示：
z 0 ， Im[ D( j1)]
30 K*
0
*
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自动控制原理第五版课后答案解析[完整版]
