自动控制系统的数学模型

第二章 自动控制系统的数学模型

第二章 自动控制系统的数学模型

重点内容

1． 掌握建立系统微分方程的方法；

2． 熟练掌握传递函数的定义、性质、零点与极点； 3． 熟练掌握典型环节的数学模型及特点；

4． 熟练掌握结构图的绘制和等效方法及梅逊公式的应用。 5． 掌握不同输入-输出下的传函定义及求取方法。

掌握这些重点内容的目的是求出系统的传递函数，现将求解系统传递函数的方法图示如下：

工作原理图结构图信号流图系统微分方程传递函数系统时域响应表达式

一般内容

1． 学习建立系统数学模型的方法； 2． 了解非线性数学模型线性化的方法； 3． 了解信号流图与结构图之间的变换关系。

难点

1． 微分方程的建立--用综合基础知识（如机械﹑电气﹑热力﹑液压﹑气动等方面的

基本定律）建立正确的微分方程； 2． 结构图的建立与化简

3． 系统结构图的等效变换的灵活运用；梅逊公式的应用。

一．概述

1． 数学模型

数学模型有多种形式，如微分方程、传递函数、结构图、信号流图、频率特性及状态空间描述等，本章主要介绍三种，即微分方程、传递函数和结构图。

2．控制系统的动态微分方程式的列写 常用的方法有两种﹕

分析法，根据各环节所遵循的物理规律（如力学﹑电磁学﹑运动学﹑热学等）来编写。 实验辩识法，根据实验数据进行整理编写。在实际工作中，这两种方法是相辅相成的。本章着重讨论分析法。

列写元件微分方程式的步骤可归纳如下： （1）确定输入量和输出量；

（2）分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程；

1

自动控制理论学习指导

（3）消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，即数学模型。 （4）将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导项均按降幂形式排列。

3．传递函数

利用拉氏变换能把以线性微分方程式描述系统的动态性能的数学模型，转换为在复数域的数学模型——传递函数，用来研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。频率法和根轨迹法，就是以传递函数为基础建立起来的，传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念。

(1) 定义

线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。

传递函数一般表达式为

C(s)b0sm?b1sm?1?G(s)??R(s)a0sn?a1sn?1??bm?1s?bm

?an?1s?an传递函数零极点型式为

C(s)G(s)??R(s)K??(s?z)jj?1nim?(s?p)i?1K?(s?z1)(s?z2)(s?pm)? (s?p1)(s?p2)(s?pi)传递函数时间常数型式为

C(s)G(s)??R(s)Ksv?(?j?1n?vi?1mjs?1)?（2）性质

传递函数具有以下性质：

①传递函数是复变量s的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。m?n且所有系数均为实数。

②传递函数是系统或元件数学模型的另一种形式，是一种用系统参数表示输出量与输入量之间关系的表达式。它只取决于系统或元件的结构和参数，而与输入量的形式无关，也不反映系统内部的任何信息。

③传递函数与微分方程有相通性。只要把系统或元件微分方程中各阶导数用相应阶次的变量s代替，就很容易求得系统或元件的传递函数。

④传递函数G(s)的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应g(t)。

g(t)是系统在单位脉冲?(t)输入时的输出响应。此时R(s)??[?(t)]?1，故有

g(t)=?-1[C(s)]=?-1[G(s)R(s)]=?-1G(s)

（对于简单的系统或元件，首先列出它的输出量与输入量的微分方程，求其在零初始条件下的拉氏变换，然后由输出量与输入量的拉氏变换之比，即可求得系统的传递函数。

2

?(Ts?1)iK(?1s?1)(?2s?1)sv(T1s?11)(T2s?1)(?ms?1)

(Tn?vs?1)第二章 自动控制系统的数学模型

对于较复杂的系统或元件，可以先将其分解成各局部环节，求得环节的传递函数，然后利用本章所介绍的结构图变换法则，计算系统总的传递函数。）

（3）典型环节

自动控制系统是由若干个典型环节有机组合而成的，典型环节的传递函数的一般表达式分别为：

比例环节 G(s)?K

1 Ts?11积分环节 G(s)?

Ts微分环节 G(s)??s

惯性环节 G(s)?2?n1振荡环节 G(s)?22 ?2Ts?2T?s?1s2?2??ns??n延迟环节 G(s)?e??s

4．系统结构图及结构图的等效变换和简化

方框间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。

对于复杂的结构图，要进行变位变换，即移动引出点或比较点，将串联、并联和反馈连接的方框合并。

在简化过程中应遵循变换前后变量关系保持不变的原则。

5．系统传递函数

在工程中，经常会受到两类输入信号的作用，一类是给定的有用输入信号r(t)，另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号n(t)。

闭环控制系统的典型结构可用图2-1表示。

N(s)R(s)E(s)C(s)G1(s)B(s)H(s)G2(s)

C(s)图2-1 闭环控制系统的典型结构图

R(s)E(s)G1(s)G2(s)N(s)G2(s)C(s)B(s)

H(s)

G1(s)H(s)

图2-2 r(t)作用下的系统结构图 图2-3 n(t)作用下的系统结构图

3

自动控制理论学习指导

传递函数的概念：

（1）系统开环传递函数

系统的开环传递函数，是用根轨迹法和频率法分析系统的主要数学模型。在图2-1中，将反馈环节H(s)的输出端断开，则前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积

G1(s)G2(s)H(s)称为系统的开环传递函数，即B(s)E(s)?G1(s)G2(s)H(s)。

（2）系统闭环传递函数

①r(t)作用下的系统闭环传递函数，用Φr(s)表示。

令n(t)?0，图2-1简化为图2-2，输出c(t)对输入r(t)的传递函数为

G1(s)G2(s)C(s)?Φr(s)? R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)

②n(t)作用下的系统闭环传递函数

为了研究扰动对系统的影响，需要求出c(t)对n(t)的传递函数。

令r(t)?0，图2-1转化为图 2-3，由图可得

G2(s)C(s)?Φn(s)?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)称Φn(s)为n(t)作用下的系统闭环传递函数。

③系统的总输出

当给定输入和扰动输入同时作用于系统时，根据线性叠加原理，线性系统的总输出应为各输入信号引起的输出之总和。因此有 C(s)?Φr(s)R(s)?Φn(s)N(s)?G1(s)G2(s)R(s)G2(s)N(s)?

1?G1(s)G2(s)H(s)1?G1(s)G2(s)H(s)（3）闭环系统的误差传递函数

误差大小直接反映了系统的控制精度。在此定义误差为给定信号与反馈信号之差，即 E(s)?R(s)?B(s) ①r(t)作用下闭环系统的给定误差传递函数Φe(s)

令n(t)?0，则可由图 2-1求得E(s)?R(s)?B(s)?R(s)?H(s)C(s)

Φer(s)?E(s)R(s)?H(s)C(s)C(s)1??1?H(s)? R(s)R(s)R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)4

第二章 自动控制系统的数学模型

②n(t)作用下闭环系统的扰动误差传递函数Φen(s) 取r(t)?0，则可由图2-1求得E(s)??B(s)??H(s)C(s) Φen(s)?③系统的总误差

根据叠加原理，系统的总误差为

E(s)?Φer(s)R(s)?Φen(s)N(s)

G2(s)H(s)E(s)C(s)??H(s)?? N(s)N(s)1?G1(s)G2(s)H(s) 对比上面导出的四个传递函数Φr(s)、Φn(s)、Φer(s)和Φen(s)的表达式，可以看出，表达式虽然各不相同，但其分母却完全相同，均为[1?G1(s)G2(s)H(s)]，这是闭环控制系统的本质特征。称1?G1(s)G2(s)H(s)?0为系统的特征方程式。

6．信号流图与梅逊公式

控制系统的信号流图与结构图一样都是描述系统各环节之间信号传递关系的数学图形。利用梅逊公式可以直接求出任意两个变量之间的传递函数，而不需要进行化简。但是，信号流图只适用于线性系统，而结构图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。

1N梅逊公式： P??Pk?k

?k?1式中 N——前向通道的条数

?——信号流图的特征式，即

??1??L1??L2??L3???(?1)m?Lm ?L1——所有不同回环传输之和；

?L2——所有每两个互不接触回环传输乘积之和； ?L3——所有每三个互不接触回环传输乘积之和； ?Lm——任意m个互不接触回环传输乘积之和； Pk——第k条前向通道的传输；

?k——余子式，即与第k条前向通道不接触部分的?值（在?中去掉与第k条前

向通道接触部分，包括有公共节点部分）。 二．典型例题分析

[例2-1] 列写图2-4所示RLC网络的微分方程。

RLCuriuc

5