广义胡克定律 强度理论
[知识回顾]
1、 轴向拉（压）变形
在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）
?x?E?x横向变形
2?）纯剪切y????xx?
???E
??G?[导入新课]
胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状
态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。 [新课教学]
广义胡克定律 强度理论
一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law） 1、主应力单元体－叠加法
小变形，线弹
性范围内，符
只在???合叠加原理??1 1方向11作用下：
E
只在?2作用下：1方向 1方向由?共同作用引起的应变 1、?2、?3
只在????
3作用下：1方向?1?? ??3???1???1????1???即E
?11?E??1????2??3??同理：? ?12E??2????3??1??0 / 11下载文档可编辑
?1????
1??3????1 ??2??2、非主应力单元体E?3?可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，
线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关，
满足应用叠加原理的条件。
1? 1??x??x??(?y??z)?3、???xyxy体积应变 EG??? 单元体，1?1??yz??yz??y??y??(?z??x)?个互相垂直G?E?1?1????zxzx?z??z??(?x??y)?G??E?????边长分别为dx、dy和dz。在三
的面上有主应力?1、?2和?3。
V?dxdydz??变形前单元体的体积为
变形后，三个棱边的长度变dx??1dx?(1??1)dx为
由于是单元体，变形后三个dz??dz?(1??)dz棱边仍互相垂直，所以，变形后
33的体积为
V1?(1??1)(1??2)(1??3)dxdydz
dy??2dy?(1??2)dy将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得 V1?(1??1??2??3)dxdydz 于是，单元体单位体积的改变为 ??V1?V??1??2??3 V。它描述了构件内一点的体积变化程度。 ?称为体积应变（或体应变）5、体积应变与应力的关系
将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变
???3(1?2?)?1??2??3?m1?2??????1??2??3?(?1??2??3)E3KEK?E3(1?2?)1 / 11下载文档可编辑
式中
?1m?K称为体积弹性模量，
?3(?1??2??3)m是三个主应力的平均值。体积
应变?只与平均应力?关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。m有
体积应变?与平均应力?m成正比，称为体积虎克定律。
二、应变能密度（Strain Energy Density） 1、单向应力状
1?2?态：
??2???2E
2、复杂应力状?1???1?1?12?2?2?12?3?3态：
2 ?1??2E??2??2212??3?2?(?1?2??2?3??3?1)?
因形状和体积都变化，所以变形
比能可看成由
二部分构成：
1） 形状改变能密度（畸变能密度）
2） 体积改变?d?1??6E????1?1??22??2??????2?????2v?(?232?31??2??3)1?6E能密度
例1： 已知：
一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用，过??10?6K?点沿轴向及与轴向成?645°方向0?500u?400?10测线
应变，轴向应变 ， 45°方向的应变为 ， 若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200Gpa,泊松比m=0.3。 求：F和m的值。
解：1、内力分析
2、K点处的应力状态分析
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广义胡克定律
