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高考数学三轮复习冲刺模拟试题15
立体几何中的向量方法
一、选择题
1．已知a＝(2，4，－5)，b＝(3，x，y)，若a∥b，则x＋y＝( ) 9
A．－9 B．－2 C．－3
3D．－2
3xy15153
解析：由a∥b，得2＝4＝，解得x＝6，y＝－2，故x＋y＝6－2＝－2.
－5答案：D
2．已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，－1，1)，则|a＋t b|的最小值是( ) A．23 C.6
32B.2 D．32
解析：由已知得a＋tb＝(2t－1，2－t，t＋1)，所以|a＋tb|2＝(2t－1)2＋(2－t)219932
＋(t＋1)2＝6t2－6t＋6＝6(t2－t)＋6＝6(t－)2＋≥，所以|a＋tb|的最小值为. 2222
答案：B
3．已知二面角α-l-β的大小为60°，点B、C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝BC＝1，CD＝2，则AD的长为( )
A．2 C．22
B.5 D.3
→|＝|BC→|＝1，|CD→|＝2，AB→⊥BC→，CD→⊥BC→，→，CD→〉＝
解析：由题意知|AB〈AB→＝AB→＋BC→＋CD→，则|AD→|2＝|AB→|2＋|BC→|2＋|CD→|2＋2AB→·→＋2BC→·→＋120°，ADBCCD→·→＝1＋1＋4＋2×→|＝2. 2ABCD1×2×cos 120°＝4，故|AD
答案：A
4．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，
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则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
5A.5 25C.5
解析：利用向量法求解． 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2.
可得O(0，0，0)，B(0，0，1)，C1(0，2，0)，A(2，0，0)，B1(0，2，1)， →＝(0，2，－1)，AB→＝(－2，2，1)， ∴BC11→·→
BC1AB1→→
∴cos 〈BC1，AB1〉＝→→
|BC1||AB1|4－115＝＝＝>0. 5×955
→与AB→的夹角即为直线BC与直线AB的夹角， ∵BC11115∴直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为5. 答案：A
5．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，AC＝2，BC＝3，D、E分别是AC1和BB1的中点，则直线DE与平面BB1C1C所成的角为( )
5B.3 3D.5
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πA.6 πC.3
πB.4 πD.2
解析：由AB＝1，AC＝2，BC＝3可得AB2＋BC2＝AC2，故AB⊥BC.又由直棱柱的性质可知BB1⊥平面ABC.如图，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，设棱BB1h
的长为h，则E(0，0，2)，A(0，1，0)，C1(3，0，h)，31h31→
D(2，2，2)，故DE＝(－2，－2，0)．因为BB1⊥平面
→＝(0，1，
ABC，所以BB1⊥AB，又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面BB1C1C，故BA0)是平面BB1C1C的一个法向量．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则
→·→BADE→→
sin θ＝|cos 〈BA，DE〉|＝|→→|
|BA|·|DE|
1
2
1×
31
（－2）2＋（－2）2＋02
1＝2.
＝
ππ
又因为θ∈[0，2]，所以θ＝6. 答案：A
二、填空题
6．如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，且CC1⊥底面ABC，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角为________．
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→＝a，BB→＝b，BC→
解析：由题意可知该三棱柱为正三棱柱，设其棱长为2，BA1ππ＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，c〉＝3，〈a，b〉＝〈b，c〉＝2，所以a·c＝2×2×cos π11→→→→
b＝b·c＝0.而AB1＝b－a，BM＝c＋2b，所以AB1·BM＝(b－a)·(c＋2b)＝b·c
3＝2，a·
11→，BM→〉＝π，即异面直线AB与BM所成的角为π. ＋2b2－a·c－2a·b＝0，故〈AB11
22
π
答案：2
7．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．
→，DC→，DD→的方向为
解析：以D为坐标原点，分别以DA1
x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B1(2，2，2)，N(0，2，→＝(2，0，1)，又M(0，1，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，则DB→＝(2，2，1)，NB1→＝(0，1，2)，可得平面BDM的一个法向量n＝(2，－2，1)，因为cos 〈n，0)，DM
→n·NB551→〉＝
NB＝，故直线B. 11N与平面BDM所成角的正弦值是→33
|n||NB|
1
5
答案：
3
8．如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，则二面角A-PB-C的余弦值大小为________．
解析：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴建立空间直角坐标系C-xyz，因为A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，0)，P(1，0，1)，
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→→→
∴AP＝(0，0，1)，PB＝(－1，2，－1)，CB(0，2，0)， 设平面APB的法向量为n1(x1，y1，z1)， 平面PBC的法向量为n2(x2，y2，z2)， ?z1＝0，则? ?－x1＋2y1－z1＝0，?2y2＝0，? ?－x2＋2y2－z2＝0，
∴n1＝(2，2，0)，n2＝(－1，0，1)， －23
∴cos 〈n1，n2〉＝＝－3，
6×23
∴二面角A-PB-C的余弦值为3. 3
答案：3 三、解答题
9．三棱锥P-ABC中，∠BAC＝90°，PA＝PB＝PC＝BC＝2AB＝2.
(1)求证：平面PBC⊥平面ABC； (2)求二面角B-AP-C的余弦值．
解析：(1)证明：取BC的中点O，连接AO、PO，因为△ABC
为直角三角形，所以OA＝OB＝OC，又知PA＝PB＝PC，OP为公共边，则△POA≌△POB≌△POC，所以∠POA＝∠POB＝∠POC＝90°，
所以PO⊥OB，PO⊥OA.又OB∩OA＝O， 所以PO⊥平面ABC.又因为PO?平面PBC， 所以平面PBC⊥平面ABC.
(2)过O作OD⊥BC，交AC于点D，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
31
则A(2，－2，0)，B(0，－1，0)，
→＝(3，1，0)，BP→＝(0，1，C(0，1，0)，P(0，0，3)，BA
22
广东省广州市普通高中高考数学三轮复习冲刺模拟试题 (15)
