1. 论述Lyapunov稳定性的物理意义，并说明全局指数稳定、指数稳定、全局一致渐近稳定、全局渐近
稳定、一致渐近稳定、渐近稳定、一致稳定、稳定间的关系。
答：李雅普诺夫渐近稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。
全局指数稳定、指数稳定、全局一致渐近稳定、全局渐近稳定、一致渐近稳定、渐近稳定、一致稳定、稳定间的关系可用下图表示。
全局指数稳定全局一致渐近稳定全局渐近稳定指数稳定一致渐近稳定渐近稳定一致稳定稳定
2. 论述线性变换在系统分析中的作用。
答：线性变化的作用是选取一组基，使变换后的系统数学描述在该组基下具有较简洁的形式，一定程度上消除系统变量间的耦合关系。
3. 阐述镇定问题、极点配置问题、解耦控制问题、跟踪问题的提法。
答：以渐进稳定作为性能指标称相应的综合问题为镇定问题；以一组期望闭环系统特征值作为性能指标的综合问题称为极点配置问题；使一个m输入的m输出系统化为m个单输入单输出系统的综合问题称为解耦问题；使系统的输出y在存在外界干扰的条件下无静差地跟踪参考信号y0，称相应的问题为跟踪问题。
4. 阐述对于线性时不变系统内部稳定与外部稳定的关系。
答：对连续时不变系统，若系统为内部稳定，则系统必为BIBO稳定；若系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统内部稳定即渐进稳定；若系统完全能控且完全能观，则系统外部稳定等价于系统内部稳定。结合经典控制理论与现代控制理论，写下你对控制的理解。
5. 论证??(A,B,C,D)是线性系统。
解：将微分方程部分写成
x(t)-Ax(t)=Bu(t)
?等式两边同时左乘
e-At(x(t)-Ax(t))=e-AtBu(t)
?即
d-At?ex(t)?=e-AtBu(t)
?dt?对上式在?t0，t1? 间进行积分，有
e-Atx(t)|tt0=?tt0e-AtBu(t)d?
整理后得
（t-t0）x(t)=Ce-A+?tt0e-A(t-?)Bu(?)d?
于是代数等式部分有
（t-t0）y(t)=Ce-Ax0+?tt0e-A(t-?)Bu(?)d??Du(t)?L(u)
用叠加定理验证可知，仅当x0?0时，此系统是线性系统。 当初时条件不为0时，系统可以转化为
x(t)=Ax(t)+Bu(t)+x0?(t),x(0)=0?u(t)? =Ax(t)+(Bx0)????(t)? =Ax(t)+Bu(t)?
所以，可以把其当成线性系统对待。
6. 证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。
证明:对状态空间模型
x?Ax?Bu
y?Cx?Du它的等价空间模型具有形式
x?Ax?Buy?Cx?Du
其中
A?TAT?1,B?TB,C?CT?1,D?D
T是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控性矩阵是
?c[A,B]?
由于矩阵T是非奇异的，故矩阵?c[A,B]?和?c[A,B]?具有相同的秩，从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。
7. 在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性
能是否也可能产生不利影响？如何解决？
答：极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。
极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。
改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图如下。
yre?1sqk2uBx?K11syCA
对构建增广系统，可以再通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。 (研)
8. 考虑如图的质量弹簧系统。其中，m为运动物体的质量，k为弹簧的弹性系数，h为阻尼器的阻尼系
数，f为系统所受外力。取物体位移为状态变量x1，速度为状态变量x2，并取位移为系统输出y，外力为系统输入u，试建立系统的状态空间表达式。
解： f?ma………….……1分 令位移变量为x1，速度变量为x2，外力为输入u，有
u?kx1?kx2?mx2 ……………….2分
于是有
x1?x2….. …………………….…….….……1分 x2??kh1x1?x2?u……………….2分 mmm再令位移为系统的输出y，有y?x1 写成状态空间表达式，即矩阵形式，有
?0?x1???x???k?2????mS(?)S(?)1??0?x??1??1?uh?????………2分 ??x2????m??m???x?y??10??1?……………….………………….2分
?x2?
9. Lyapunov稳定性分析
1) 绘出二维平面上李氏稳定平衡状态的轨迹图
X2S(?)S(?)??X1X2S(?)S(?)??X1
2) 绘出二维平面上李氏渐近稳定平衡状态的轨迹图
X2S(?)S(?)??X1X2S(?)S(?)??X1
3) 绘出二维平面上李氏不稳定平衡状态的轨迹图
广西大学现代控制理论期末考试题库之分析论述题(含答案)
