概率论第一课
一、 无放回类题目
例1:盒子中有4红3白共7个球,不用眼瞅,七个球摸起来是一样的,现无放回的摸4次,那摸出两个红球两个白球的概率是多少 P=P=
C?
条件一取条件一总
?×?C?
取总
条件二取条件二总
C?
2C24×C3
C47
例2:隔壁山头共有11只母猴儿,其中有5只美猴儿、6只丑猴儿,在大黑
天看起来是一样的。今儿月黑风高,我小弟冒死为我掳来5只,问天亮后,发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少 P=P=
C?
条件一取条件一总
?×?C?
取总
条件二取条件二总
C?
3C25×C6
C511
m
关于 Cn 的计算:
二、 有放回类题目
例1:盒子中有5红6白共11个球,不用眼瞅,11个球摸起来是一样的,现有放回的摸5次,那摸出两个红球三个白球的概率是多少
例2:在小弟为我抓回的5只母猴儿中,有2美3丑,每天我都随机挑一只母猴儿来,为她抓虱子。就这样,过去了101天,抓了101次虱子,问这101次中,为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少
三、 需要画图的题目
例1:已知0
① 表现已知条件
② 表现待求概率的条件 ③ 找出①②重合部分 ④ P(x>y)=
?③?
= ①
?1?2
例2:已知?1 P(x+y<1)== S正 22 S圆 π×124 = 4 π 四、 条件概率 公式:P(B|A)=P(A) 解释: 事件A:掷一次骰子,朝上点数大于3 事件B:掷一次骰子,朝上点数是6 P(B|A):掷一次骰子,已知朝上点数大于3,朝上点数是6的概率 P(AB):掷一次骰子,朝上点数是6的概率 P(A):掷一次骰子,朝上点数大于3的概率 例1:小明概率论考试得80分以上的概率是80%,得60分以上的概率是85%,已知这次考试小明概率论没挂,那么小明得80分以上的概率是多少 事件A:小明得60分以上 事件B:小明得80分以上 P(B|A):小明得60分以上时,小明得80分以上的概率 P(AB):小明得80分以上的概率 P(B|A)=P(A)= P(AB) 80%85%P(AB) =17 16 例2:某地区今年会发生洪水的概率是80%,今明两年至少有一年会 发生洪水的概率是85%,假如今年没有发生洪水,那么明年发生洪水 的概率是多少 事件A:今年没有发生洪水 事件B:明年发生洪水 P(B|A):今年没有发生洪水的情况下,明年发洪水的概率 P(AB):今年没有发生洪水,明年发生洪水的概率 P(B|A)= P(AB)P(A) = 85%?80%1?80% = 5% 20% = 4 1 五、 全概率公式 公式:A、B…等个体均可能发生某事,则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)… 例1:某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是,普通客车发生故障的概率是。求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×+80%× = 例2:猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一个考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率是100%,傻狍子考核通过的概率是1%, 那么抽中的员工通过考核的概率是多少 P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50%×100%+50%×1% =% 六、 贝叶斯公式 公式:A、B…等个体均可能发生某事,则 P(已知有个体发生某事时,是A发生的)= P(A出现)·P(A发生某事) P(发生某事) 例1:某高速公路上客车中有20%是高速客车,80%是普通客车,假设高速客车发生故障的概率是,普通客车发生故障的概率是。求该高速公路上有客车发生故障时,故障的是高速客车的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×+80%× = P(已知有客车发生故障,是高速客车发生的) == P(高速客车出现)·P(高速客车故障) P(有客车故障) 0.00841 20%·0.002 = 21 例2:猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工,老板要抽其中一个 考核,抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%,猴博士考核通过的概率 是100%,傻狍子考核通过的概率是1%,求抽中的员工通过考核时, 被抽中的员工是傻狍子的概率。 P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50%×100%+50%×1% =% P(已知有员工通过考核,是傻狍子通过的) = P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核) == 50%·1%50.5%1101 概率论第二课 七、 已知 ????(x)与 ????(x)中的一项,求另一项 公式:fX(x)=FX′(x) FX(x)=∫?∞fX(x)dx 0,x<1 例1:设X的分布函数 FX(x)={lnx,1≤x?,求X的密度函数 fX(x)。 1,x≥e 0′,x<1 0,x<1 1 ,1≤x?1x′,1≤x?fX(x)=FX′(x)={(lnx),1≤x? ?? { 0,其他 1′,x≥e {0,x≥e ?x+1,0≤x≤2 例2:设X的密度函数 fX(x)={2,求X的分布 0,其他 函数 FX(x)。 当x>2时,FX(x)=∫?∞fX(x)dx=1 当0≤x≤2 xx2 时,FX(x)=∫f(x)dx=?+x ?∞X4 x x x 1x 当x<0时,FX(x)=∫?∞fX(x)dx=∫?∞0dx=0 0,x<0 x2 FX(x)=?+x,0≤x≤2 4 {1,x>2 八、 已知 ????(x)与 ????(x)中的一种,求P 公式:P(a 0,x<1 例1:设X的分布函数FX(x)= {lnx,1≤x?,求概率P(x2<4) 1,x≥e b P(x2<4)=P(?2 ?2x+1,0≤x≤2 例2:设X的密度函数fX(x)={,求概率P(?1 0,其他 P(?1 =∫?1fX(x)dx+∫0fX(x)dx =∫?10dx+∫0(-2x+1)dx =0+1 =1 0 2 1 0 2 2 1 九、 ????(x)或 ????(x)含未知数,求未知数 公式:FX(?∞)=0,FX(+∞)=1,F上(分段点)=F下(分段点) ∫?∞fX(x)dx=1 例1:设X的分布函数 FX(x)={ 0,x≤0 (λ>0),求a和b。 a+be?λx,x>0 +∞ FX(+∞)=1 a+be?λ·(+∞)=1 a+be?∞=1 a+e+∞=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0=a+be?λ·(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a=1 { { a+b=0b=?1例2:设X的密度函数 fX(x)={ ∫?∞fX(x)dx=1 ∫?∞fX(x)dx+∫0fX(x)dx+∫2 ∫?∞0dx+∫0(ax+1)dx+∫2 0+2a+2+0=1 解得 a=?2 1 0 2 0 2 +∞ +∞ b ax+1,0≤x≤2 ,求常数a。 0,其他 fX(x)dx=1 +∞ 0dx=1