概率论第一课
一、 无放回类题目
例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少 P=P=
C?
条件一取条件一总
?×?C?
取总
条件二取条件二总
C?
2C24×C3
C47
例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑
天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少 P=P=
C?
条件一取条件一总
?×?C?
取总
条件二取条件二总
C?
3C25×C6
C511
m
关于 Cn 的计算：
二、 有放回类题目
例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少
例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少
三、 需要画图的题目
例1：已知0
① 表现已知条件
② 表现待求概率的条件 ③ 找出①②重合部分 ④ P(x>y)=
?③?
= ①
?1?2
例2：已知?1 P(x+y<1)== S正 22 S圆 π×124 = 4 π 四、 条件概率 公式：P(B|A)=P(A) 解释： 事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3 事件B：掷一次骰子，朝上点数是6 P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率 P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率 P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率 例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少 事件A：小明得60分以上 事件B：小明得80分以上 P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率 P(AB)：小明得80分以上的概率 P(B|A)=P(A)= P(AB) 80％85％P(AB) =17 16 例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会 发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水 的概率是多少 事件A：今年没有发生洪水 事件B：明年发生洪水 P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率 P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率 P(B|A)= P(AB)P(A) = 85％?80％1?80％ = 5％ 20％ = 4 1 五、 全概率公式 公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)… 例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是，普通客车发生故障的概率是。求该高速公路上有客车发生故障的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×+80%× = 例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%， 那么抽中的员工通过考核的概率是多少 P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50％×100％+50％×1％ =％ 六、 贝叶斯公式 公式：A、B…等个体均可能发生某事，则 P(已知有个体发生某事时，是A发生的)= P(A出现)·P(A发生某事) P(发生某事) 例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是，普通客车发生故障的概率是。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。 P(有客车发生故障) =P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障) =20%×+80%× = P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的) == P(高速客车出现)·P(高速客车故障) P(有客车故障) 0.00841 20％·0.002 = 21 例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个 考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率 是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时， 被抽中的员工是傻狍子的概率。 P(抽中的员工通过考核) =P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过) =50％×100％+50％×1％ =％ P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的) = P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核) == 50％·1％50.5％1101 概率论第二课 七、 已知 ????(x)与 ????(x)中的一项，求另一项 公式：fX(x)=FX′(x) FX(x)=∫?∞fX(x)dx 0，x<1 例1：设X的分布函数 FX(x)={lnx，1≤x 1，x≥e 0′，x<1 0，x<1 1 ，1≤x 0，其他 1′，x≥e {0，x≥e ?x+1，0≤x≤2 例2：设X的密度函数 fX(x)={2，求X的分布 0，其他 函数 FX(x)。 当x>2时，FX(x)=∫?∞fX(x)dx=1 当0≤x≤2 xx2 时，FX(x)=∫f(x)dx=?+x ?∞X4 x x x 1x 当x<0时，FX(x)=∫?∞fX(x)dx=∫?∞0dx=0 0，x<0 x2 FX(x)=?+x，0≤x≤2 4 {1，x>2 八、 已知 ????(x)与 ????(x)中的一种，求P 公式：P(a 0，x<1 例1：设X的分布函数FX(x)= {lnx，1≤x 1，x≥e b P(x2<4)=P(?2 ?2x+1，0≤x≤2 例2：设X的密度函数fX(x)={，求概率P(?1 0，其他 P(?1 =∫?1fX(x)dx+∫0fX(x)dx =∫?10dx+∫0(-2x+1)dx =0+1 =1 0 2 1 0 2 2 1 九、 ????(x)或 ????(x)含未知数，求未知数 公式：FX(?∞)=0，FX(+∞)=1，F上(分段点)=F下(分段点) ∫?∞fX(x)dx=1 例1：设X的分布函数 FX(x)={ 0，x≤0 (λ>0)，求a和b。 a+be?λx，x>0 +∞ FX(+∞)=1 a+be?λ·(+∞)=1 a+be?∞=1 a+e+∞=1 a=1 F上(0)=F下(0) 0=a+be?λ·(0) 0=a+be0 a+b=0 a=1 a=1 { { a+b=0b=?1例2：设X的密度函数 fX(x)={ ∫?∞fX(x)dx=1 ∫?∞fX(x)dx+∫0fX(x)dx+∫2 ∫?∞0dx+∫0(ax+1)dx+∫2 0+2a+2+0=1 解得 a=?2 1 0 2 0 2 +∞ +∞ b ax+1，0≤x≤2 ，求常数a。 0，其他 fX(x)dx=1 +∞ 0dx=1
概率论与数理统计猴博士
