三角形等高模型与鸟头模型
模型二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上如图 2)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)
DAADEEB
图⑴ 图⑵
CBC
【例 1】 如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且AD:AB?2:5，AE:AC?4:7，S△ADE?16平方
厘米，求△ABC的面积．
AADEDEBC
【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4)，
BC
S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5)，所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5)，设S△ADE?8份，
则S△ABC?35份，S△ADE?16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那
么三角形ABC的面积是多少？
AADECDECB【解析】 连接BE．
∵EC?3AE ∴S∴SABC B
?3S?SABE
?15，∴S?15S?15．
又∵AB?5AD
ADEABE?5?SABCABCADE
【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，BD?DC?4，BE?3，AE?6，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
AAEB甲DE乙C
B甲D乙C
【解析】 连接AD．
∵BE?3，AE?6 ∴AB?3BE，S∴S?2SABD?3SBDE
，S乙?5S甲．
又∵BD?DC?4，
ABCABD，∴SABC?6SBDE
【例 2】 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD?5:2，
AE:EC?3:2，S△ADE?12平方厘米，求△ABC的面积．
DDAAEBCBE
【解析】 连接BE，S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)
S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?，
C所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25，设S△ADE?6份，则S△ABC?25份，S△ADE?12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，△ABC的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF?2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面
积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
DFABC
【解析】 连接FB．三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2
倍，所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的（3?2）?6倍．因此，平行四边形的面积为
E8?6?48(平方厘米)．
【例 4】 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE?CE,AD?2BD,CF?3AF，求△ABC的面积．
AFDBEC【解析】 S△BDE:S△ABC
?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6，
S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6
设S△ABC?24份，则S△BDE?4份，S△ADF?4份，S△CEF?9份，S△DEF?24?4?4?9?7份，恰好是7平方厘米，所以S△ABC?24平方厘米
【例 5】 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE?2:5，BC:CD?3:2，三角形BDE的面积
是多少？
ABCDEABCDE
【解析】 由于?ABC??DBE?180?，所以可以用共角定理，设AB?2份，BC?3份，则BE?5份，
BD?3?2?5份，由共角定理S△ABC:S△BDE?(AB?BC):(BE?BD)?(2?3):(5?5)?6:25，设
S△ABC?6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25?0.5?12.5平方厘米，三角
形BDE的面积是12.5平方厘米
【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示，正方形ABCD边长为6厘米，AE?角形DEF的面积为_______平方厘米．
DA11三AC，CF?BC．
33EC F112【解析】 由题意知AE?AC、CF?BC，可得CE?AC．根据”共角定理”可得，
333BS△CEF:S△ABC?(CF?CE):(CB?AC)??1?2?:(3?3)?2:9；而S△ABC?6?6?2?18；所以S△CEF?4；
同理得，S△CDE:S△ACD?2:3;，S△CDE?18?3?2?12，S△CDF?6 故S△DEF?S△CEF?S△DEC?S△DFC?4?12?6?10(平方厘米)．
【例 7】 如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD?AB；延长BC至E，使CE?2BC；延长
CA至F，使AF?3AC，求三角形DEF的面积．
FFABDCEB
ACED
【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE、CD．
S1∵ABC?，SABC?1， SDBC1∴SDBC?1．
同理可得其它，最后三角形DEF的面积?18．
(法2)用共角定理∵在ABC和CFE中，?ACB与?FCE互补， SAC?BC1?11∴ABC???． SFCEFC?CE4?28又SABC?1，所以SADFFCE?8．
BDE同理可得S所以SDEF?6，SABC?3．
ADF?S?SFCE?S?SBDE?1?8?6?3?18．
【例 8】 如图，平行四边形ABCD，BE?AB，CF?2CB，GD?3DC，HA?4AD，平行四边形ABCD的
面积是2， 求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．
HHAGDFBCEGADFBCE
【解析】 连接AC、BD．根据共角定理
∵在△ABC和△BFE中，?ABC与?FBE互补，
SAB?BC1?11∴△ABC???． S△FBEBE?BF1?33又S△ABC?1，所以S△FBE?3．
同理可得S△GCF?8，S△DHG?15，S△AEH?8．
所以SEFGH?S△AEH?S△CFG?S△DHG?S△BEF?SABCD?8?8?15+3+2?36．
S21所以ABCD??．
SEFGH3618
【例 9】 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，求四边形ABCDCB?BF，DC?CG，EA?AB，HD?DA，
的面积．
HDAECBGHDCBGFAEF
【解析】 连接BD．由共角定理得S△BCD:S△CGF?(CD?CB):(CG?CF)?1:2，即S△CGF?2S△CDB
同理S△ABD:S△AHE?1:2，即S△AHE?2S△ABD 所以S△AHE?S△CGF?2(S△CBD?S△ADB)?2S四边形ABCD 连接AC，同理可以得到S△DHG?S△BEF?2S四边形ABCD
S四边形EFGH?S△AHE?S△CGF?S△HDG?S△BEF?S四边形ABCD?5S四边形ABCD
所以S四边形ABCD?66?5?13.2平方米
【例 10】 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，若
四边形ABCD的面积为5，则四边形EFGH的面积是 ．
FBCADH【解析】 连接AC、BD．
FBCADHGEGE
由于BE?2AB，BF?2BC，于是S?BEF?4S?ABC，同理S?HDG?4S?ADC． 于是S?BEF?S?HDG?4S?ABC?4S?ADC?4SABCD．
再由于AE?3AB，AH?3AD，于是S?AEH?9S?ABD，同理S?CFG?9S?CBD． 于是S?AEH?S?CFG?9S?ABD?9S?CBD?9SABCD．
那么SEFGH?S?BEF?S?HDG?S?AEH?S?CFG?SABCD?4SABCD?9SABCD?SABCD?12SABCD?60．
【例 11】 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD?AB，延长BC至E，使CE?中点，若△ABC的面积是2，则△DEF的面积是多少？
1BC，F是AC的2AFBDCE
【解析】 ∵在△ABC和△CFE中，?ACB与?FCE互补，
SAC?BC2?24∴△ABC???． S△FCEFC?CE1?11又SABC?2，所以SFCE?0.5．
同理可得S△ADF?2，S△BDE?3．
小学奥数-几何五大模型（鸟头模型）
