高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
Newly compiled on November 23, 2024
内切球和外接球问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题
例1 （2006年广东高考题）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________ .
解析：要求球的表面积，只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径，因此，求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为______________.
解析：要求球的体积，还是先得求出球的半径，而球的直径正好是正方体的体对角线，因此，由正方体表面积可求出棱长，从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.故该球的体积为43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .
解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14?.
例4、（2006年全国卷I）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
解析：正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是等同于例3，故选C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在
9同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为３，则这个球的体积为 .
6x?3,1??x?,??2?932??xh,???6?84?h?3．?解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有
r?31d?2.∴外接球的半径2，球心到底面的距离
∴正六棱柱的底面圆的半径
4??V球?R?r2?d2?1.3.
222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.
解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后
再两
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