高考文科数学中的内切球和外接球问题专题练习
Newly compiled on November 23, 2020
内切球和外接球问题
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上,那么称这个多面体是球的内接多面体,这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题,是立体几何的一个重点,也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题,既要运用多面体的知识,又要运用球的知识,并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系,而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
一、直接法(公式法) 1、求正方体的外接球的有关问题
例1 (2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为______________ .
解析:要求球的表面积,只要知道球的半径即可.因为正方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径.故表面积为27?.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为24,则该球的体积为______________.
解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可求出棱长,从而求出正方体的体对角线是23所以球的半径为3.故该球的体积为43?.
2、求长方体的外接球的有关问题
例3 (2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则此球的表面积为 .
解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14,故球的表面积为14?.
例4、(2006年全国卷I)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).
A. 16? B. 20? C. 24? D. 32?
解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,故选C.
3.求多面体的外接球的有关问题
例5. 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在
9同一个球面上,且该六棱柱的体积为8,底面周长为3,则这个球的体积为 .
6x?3,1??x?,??2?932??xh,???6?84?h?3.?解 设正六棱柱的底面边长为x,高为h,则有
r?31d?2.∴外接球的半径2,球心到底面的距离
∴正六棱柱的底面圆的半径
4??V球?R?r2?d2?1.3.
222小结 本题是运用公式R?r?d求球的半径的,该公式是求球的半径的常用公式.
二、构造法(补形法)
1、构造正方体
例5 (2008年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的表面积是_______________.
解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后
再两
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