《直线与圆的位置关系》典型例题
例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？为什么？
（1）r=1cm； （2）r=
cm； （3）r=2.5cm．
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4cm，BC=2cm，以C为圆心，r为半径的圆，若直线AB与⊙C，（1）相交；（2）相切；（3）相离．求半径r的取值．
例3 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，若AB=6，AD=4，BC=2，试问：DC上是否存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD？
例4 如图，直角梯形上的一点，相切.
平分
中， ，
平分
， ， ， 为 为直径的圆与
.求证：以
例5 已知为圆心，
中，
，
和⊙
于
，
，
，以
为半径画圆.求证直线 相离.
参考答案
例1 分析 如图，欲判定⊙C与直线AB的关系，只需先求出圆心C到直线AB的距离CD的长，然后再与r比较即可．
解：过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2
∴AB·CD=AC·BC，
，
∴ ，
（1）当r =1cm时 CD＞r，∴圆C与AB相离； （2）当r=
cm时，CD=r，∴圆C与AB相切；
（3）当r=2.5cm时，CD＜r，∴圆C与AB相交． 说明：从“数”到“形”，判定圆与直线位置关系． 例2 解：过C点作CD⊥AB于D，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2， ∴AC=2
∴AB·CD=AC·BC，
，
∴ ，
；
（1）∵直线AB与⊙C相离，∴0 r
； ．
说明：从“形”到“数”，由圆与直线位置关系来确定半径．
例3 分析：若Rt△PBC∽Rt△APD，则∠APD+∠BPC=90°，可知∠APB=90°，所以P点为以AB为直径的圆O与DC的交点，由条件可知为⊙O与DC相切，
所以存在一点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．
解：设以AB为直径的圆为⊙O，OP⊥DC，则： OP为直角梯形ABCD的中位线，
∴OP=（AD+BC）/2=（4+2）/2=3，又∵OA=OB=AB/2=3， ∴OP=OA，∴⊙O与DC相切，
∴∠APB=90°，∴∠APD+∠BPC=90°．又∵∠PBC+∠BPC=90°， ∴∠APD=∠PBC，又∵∠C=∠D=90°，∴Rt△PBC∽Rt△APD． 因此， DC上存在点P，使Rt△PBC∽Rt△APD．
说明：①直线与圆位置关系的应用；②此题目可以变动数值，使DC与⊙O相交、相离． 例4 分析：要证以
为直径的圆与
相切，只需证明
的中点到
的距离等于 . 作
于
，
证明 ：过点
同理可证：
为
的中点，
即：以
为直径的圆与
相切.
说明：在判定直线是圆的切线时，若条件没有告诉它们有公共点，常用的方法就是“距离判定”法，即先由圆心到该直线作垂线，证明圆心到该直线的距离恰好等于半径，从而得出直线是圆的切线的结论. 例5 分析：欲证直线长，若
证明
是圆心
，则判定
于 到
和⊙
相离，只需计算点 相离（如图）
到
的距离
的
与⊙ ， 的距离
∽
又 ⊙
的半径 为
故
与⊙
相离.
，
.
《直线与圆的位置关系》典型例题
