2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第06讲：计数原理
1、（2010一试8）方程x?y?z?2010满足x?y?z的正整数解(x,y,z)的个数是. 【答案】336675
易知 1?3?1003?6k?2009?1004，所以6k?2009?1004?3?1003?1
?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004，即k?1003?335?334?335671.
从而满足x?y?z的正整数解的个数为1?1003?335671?336675.
2、（2011一试5）现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答） 【答案】15000
【解析】由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形：
1（1）有一个项目有3人参加，共有C73?5!?C5?5!?3600种方案；
1（2）有两个项目各有2人参加，共有(C72?C52)?5!?C52?5!?11400种方案；
2所以满足题设要求的方案数为3600?11400?15000．
3、（2011一试8）已知an?Cn?36200【答案】15 【解析】an?C
n200??200?n?1??(n?1,2,?,95)，则数列{an}中整数项的个数为． ?????2?n?3200?n3?2400?5n6．
200?n400?5n均为整数，从而6|n?4． ,36200?n400?5n和均为非负整数，所以an为整数，
63要使an(1?n?95) 为整数，必有
当n?2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80时，共有14个．
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当n?86时，a86?C86?338?2?5，在C86?200200200!中，200!中因数2的个数为
86!?114!?200??200??200??200??200??200??200??2???22???23???24???25???26???27??197， ??????????????同理可计算得86中因数2的个数为!中因数2的个数为82，114!中因数2的个数为110，所以C86200197?82?110?5，故a86是整数．
当n?92时，a92?C92?336?2?10，在C92?200200200!中，同样可求得92!中因数2的个数为88,108!中因数2的个
92!?108!数为105,故C86中因数2的个数为197?88?105?4，故a92不是整数． 200因此，整数项的个数为14?1?15．
4、（2013一试6）从1,2，?，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为. 【答案】
232 323
5、（2015一试8）对四位数abcd(1?a?9,0?b,c,d?9),若a?b,b?c,c?d,则称abcd为P类数,若
a?b,b?c,c?d,则称abcd为Q类数,用N(P)与N(Q)分别表示P类数与Q类数的个数,则N(P)?N(Q)的值为
【答案】285
【解析】分别记P类数、Q类数的全体为A,B，再将个位数为零的P类数全体记为A0,个位数不等于零的P类数全体记为A1.
对任一四位数abcd?A1,将其对应到四位数dcba,注意到a?b,b?c,c?d?1,
故dcba?B.反之，每个dcba?B唯一对应于A1中的元素abcd.这建立了A1与B之间的一一
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对应，因此有N(P)?N(Q)?|A|?|B|?|A0|?|A1|?|B|?|A0|.
下面计算|A0|:对任一四位数abc0?A0,b可取0,1，???，9，对其中每个b,
由b?a?9及b?c?9知，a和c分别有9-b种取法，从而|A0|=?(9?b)??k2?2b?0k?1999?10?19?285.6因此，N(P)?N(Q)?285.
6、（2016一试8）设a1,a2,a3,a4是1，2，?，100中的4个互不相同的数，满足
122222(a1?a2?a3)(a2?a3?a4)?(a1a2?a2a3?a3a4)2则这样的有序数组(a1,a2,a3,a4)的个数为
. 【答案】40
先考虑n?m的情况.
a1n3a1n333l?a?a()?此时4，注意到m,n互素，故为正整数. 相应地，a1,a2,a3,a4分别等于1mm3m3n?1，满足条件并以q为公比的等比m1003数列a1,a2,a3,a4的个数，即为满足不等式nl?100的正整数l的个数，即[3].
n343由于5?100，故仅需考虑q?2,3,,4,这些情况，相应的等比数列的个数为
23100100100100100[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20. 827276464m3l,m2nl,mn2l,n3l，它们均为正整数.这表明，对任意给定的q?当n?m时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列a1,a2,a3,a4. 综上可知，共有40个满足条件的有序数组(a1,a2,a3,a4).学科*网
7、（2017一试4）若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数
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是. 【答案】75
【解析】考虑平稳数abc.
若b=0,则a=1,c?{0,1},有两个平稳数.
若b?1,则a?{1,2},c?{0,1,2},有2?3=6个平稳数.若2?b?8,则a,c?{b?1,b,b?1},有7?3?3=63个平稳数.若b?9,则a,c?{8,9}，有2?2=4个平稳数.综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=75个平稳数.
8、（2010二试4）一种密码锁的密码设置是在正n边形A1A2?An的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？
同，标有a和b的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a，b，c，使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍．
设标有a的边有2i条，0?i???，标有b的边有2j条，0?j??2?n????n?2i?2i．选取条边标记a的有2iCn?2??2j种方法，在余下的边中取出2j条边标记b的有Cn?2i种方法，其余的边标记c．由乘法原理，此时共有2j2iCnCn?2i种标记方法．对i，j求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为 ?n??2???i?0?n?2i????2????2i2j?CC?n?n?2i?． ①
j?0????4?0这里我们约定C0?1．
当n为奇数时，n?2i?0，此时
?n?2i??2???j?0?C2jn?2i?2n?2i?1． ②
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代入①式中，得4?i?0?n??2????n?2i??n??n????2??2??2????????2i?2j2in?2i?12in?2iCC?4C2?2C2? ??????nn?2inn??j?0i?0i?0??????C2knk?0nn?kkn?k??Cn2(?1)k?(2?1)n?(2?1)n?3n?1． k?0n当n为偶数时，若i?nn，则②式仍然成立；若i?，则正n边形的所有边都标记a，此时只有一种标记方22法．于是，当n为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为
?n??2???i?0n??n?2i??n???????2??2??1?2???????2i??2j?2in?2i?1????2?4??Cn2i2n?2i?1??3n?3． ?Cn?Cn?2i??4??1???Cn2i?0j?0i?0????????4?nn综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n为奇数时有3?1种；当n为偶数时有3?3种．
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20092017全国高中数学联赛分类汇编第06讲计数原理
