1.常用等价无穷小
当x→0时 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~
2.常用极限
1. lim
nk
x→∞anx→∞
ax?1lna
~
(1+x)b?1
b
(其中a>0,??≠0)
x~ex?1 x2~1?cosx x~√1+x?1 α~(1+x)α
2
n
11
n
=0 ,(a>1)
2. lim
cn
x→∞n!x→∞
=0,(c>0)
3. limnqn,(|q|<1) 5. lim√n=1
x→∞
n
4. limn√a=1,(a>0) 6. lim
logann
x→∞
=0,(a>1)
1n
7. lim9. lim
1nx→∞√n!nn=0 =e
8. lim(1+)=e
x→∞
n
x→∞√n!10. lim
sinxx
x→∞
=0
)=
1p+1
11. lim
logaxxε
x→+∞
=0 ,(a>1,??>0)
?
np+1
12. lim(
x→∞
1p+2p+?+np
np+1
2pp+1
13. lim(
x→∞
1p+2p+?+np
np+11
1n+2
)= 212n
1
14. lim(
x→∞
1p+3p+?+(2n?1)p
np+1
)= 15. lim(16. lim
x→∞n+1
sinxxax?1x
++?+
)=ln2
β
17. lim(1+x)=e
x→0
1
x
x→0
=1 =
αm
18. lim20. lim22. lim24. lim26. lim28. limx→0
=lna =1 =1
19. lim21. lim23. lim25. lim
(1+a)μ?1
aarcsinxx
x→0
=μ
ln(1+x)
xarctanx
x
m
x→0x→0
=1
=mn(n?m)
21
(1+mx)n?(1+nx)m
x2
m
x→0x→0
n
√1+αx?√1+βxxx→0
?,(mn≠0)
n
n
β√1+αx ?√1+βx?1α
+，（mn
xmnx→0
≠0）
xm?1xn?1
mnx→1
==
mnn
,(m,n为自然数) ,(m,n∈Z)
27. lim(
x→1
m1?xm
?
n1?xn
)=
m?n2
√x?1x→1√x?1m
29. 若Xn（n=1,2…）收敛,则算数平均值的序列????=(X1+X2+?Xn),(n=1,2?)也收敛，且
n
1
lim
x1+x2+?+xn
n
x→∞
=limxn
x→∞
30. 若序列Xn(n=1,2…)收敛，且Xn>0,则lim√x1+x2+?+xn= limXn
x→∞
x→∞
n
31. 若Xn>0(n=1,2…)且lim
Xn+1
x→∞Xn
存在，则lim√Xn=lim
x→∞
n
Xn+1
x→∞Xn
32. 若整序变量Yn→+∞,并且——至少是从某一项开始——在n增大时Yn亦增大，Yn+1>Yn，则
n→∞Yn
lim
Xn
=lim
Xn?Xn?1
n→∞Yn?Yn?1
3.常用公式及不等式
4.常用符号
5.微分学基本公式
1. 3. 5. 7. 9.
y=c dy=0
1cos2x
1. 1+2+?+n=
n(n+1)2
2. 12+22+?+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
3. 13+23+?+n3=(1+2+?n)2 4. a3±b3=(a+b)(a2?ab+b2)
5. xn?1=(x?1)(xn?1+xn?2+?+x+1)
6. xn?an=(x?a)(xn?1+axn?2+a2xn?3+?+a2x+an?1) 7. xn+an=(x+a)[(x2k?1?ax2k?2)+?+(a2k?2x?a2k?1)] 8. x?1=(√xn?1+√xn?2+?+1) 9. 伯努利不等式(1+x)n≥1+nx
n
n
(1+x1)(1+x2)???(1+xn)≥1+x1+x2+?+xn
10. |x?y|≥||x|?|y||
11. |xy|≥xy
12. |X+X1+?+Xn|≥|X|?(|X1|+?+|Xn|) 13. n!<(15.
1n+1
n+1n
) 2
1
1
14. ????
24
132n?12n
<1√2n+1 n n a?1n 16. 1+a 17. n√a?1< k Ank 18. 组合数公式Cn= k! = n! k!(n?k)! kk???1 Cm+n+1?C??+??=????+?? n! k 排列数公式An=n?(n?1)???(n?k+1)=( n?k)! 19. z6?1=(z+1)(z?1)(z2+z+1)(z2?z)+1 20. z6+1=(z2+1)(z4?z2+1) 21. z4+1=(z2+√2z+1)(z2?√2z+1) 1.记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n，并且每两个数之间差2. 例：7！！=1?3?5?7 8?=2?4?6?8 dx 2. 4. 6. 8. y=xμ dy=μxμ?1dx y=logax dy= logaex y=ax dy=axlnadx y=sinx dy=cosxdx y=tanx dy=sec2xdx= dx y=cosx dy=?sinxdx y=cotx dy=?csc2xdx= 1sin2x dx y=secx dy=secxtanxdx 1√1?x211+x21ch2x 10. y=cscx dy=?cscxcotxdx 12. y=arccosx dy=?14. y=arccotx dy=?18. y=cthx dy=? 1√1?x211+x21sh2x 11. y=arcsinx dy=13. y=arctanx dy=17. y=thx dy= dx dx dx dx 15. y=shx dy=chxdx dx 16. y=chx dy=shxdx dx
微积分常用公式
