构造函数
常见构造函数方法：
1.利用和差函数求导法则构造
（1）f?(x)?g?(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)?g(x)； （2）f?(x)-g?(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)-g(x)； （3）f?(x)?k(或?k)?F(x)?f(x)?kx； 2.利用积商函数求导法则构造
（1）f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)g(x)； （2）f?(x)g(x)-f(x)g?(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)(g(x)?0)； g(x)（3）xf?(x)?f(x)?0(或?0)?F(x)?xf(x)； （4）xf?(x)-f(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)(x?0)； xn（5）xf?(x)?nf(x)?0(或?0)?F(x)?xf(x); (6)xf?(x)-nf(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)(x?0); nxx(7)f?(x)?f(x)?0(或?0)?F(x)?ef(x); (8)f?(x)-f(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)(x?0); exkx(9)f?(x)?kf(x)?0(或?0)?F(x)?ef(x); (10)f?(x)-kf(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)(x?0); kxe(11)f(x)?f?(x)tanx?0(或?0)?F(x)?sinxf(x);
f(x)(sinx?0); sinxf(x)(cosx?0); (13)f?(x)?tanxf(x)?0(或?0)?F(x)?cosx(12)f(x)-f?(x)tanx?0(或?0)?F(x)?(14)f?(x)-tanxf(x)?0(或?0)?F(x)?cosf(x);
x(15)f?(x)+lnaf(x)?0(或?0)?F(x)?af(x);
(16)
f?(x)?lnaf(x)?0(或?0)?F(x)?f(x)ax;
考点一。直接构造法
1．（1）已知f(x)?f(4?x)，且当x?2时，其导函数f?(x)满足xf?(x)?2f?(x)，若2?a?4，则（ ）
aa A.f(2)?f(3)?f(log2a) B.f(3)?f(log2a)?f(2) aa C.f(log2a)?f(3)?f(2) D.f(log2a)?f(2)?f(3)
解：由题：对称轴x=2,
?1?log2a?2,4?2a?16,选C（x?2)f?(x)?0?当x?2时，f(x)单减，当x?2时，f(x)单增，（2）设a＞0，b＞0．( )
A．若2?2a?2?2b，则a＞b B．若2?2a?2?2b，则a＜b C．若2?2a?2?2b，则a＞b D．若2?2a?2?2b，则a＜b
abababab。
解：对选项A：构造函数：f?x??2x?2x，则f??x??2x?ln2?2?0恒成立，故有函数f?x??2x?2x在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除．【答案】A。
（3）已知函数f(x)满足f(2)?1，且f(x)的导函数f?(x)?x?1，求解不等式f(x)?12x?x?12。
1g(x)?f(x)?x2?x?1,?g?(x)?f?(x)?x?1?0，则g(x)单增，g(2)?0,故解集为：x?2
2解：。
（4）已知函数f?x?满足：f?x??1?f??x?,f?0??0,f??x?是f?x?的导函数，求解不等式ef?x??e?1xx。
解：
令g(x)?exf(x)?ex?1,?g?(x)?ex(f(x)?f?(x)?1)?0,则g(x）单增，g(0)?0,故解集为：x?0。
（5）若f(x)满足f(x)?f'(x)?1，f(0)?4，求解不等式f(x)?3?1。 xe3exf(x)?ex?3h(x)x?x解：令g(x)?f(x)?x?1?，?h?(x)?e(f(x)?f?(x)?1)>0,g(x)单调递增，xeee?0g(0)=f(0)-4=0,则g(x)>0,故x>0.
（6）若函数f(x)满足：2f?(x)?f(x)成立，若f(ln4)?2，求解不等式f(x)?e。
x21e(f?(x)?f(x))f(x)2>0,则单调递增，g(ln4)?f(ln4)?1，则g(x)>g(ln4),不等式解：令g(x)=x,则g?(x)?xln422(e)e2e2x2f(x)?e的解为：x>ln4.
x2
考点二。找原函数构造法
'2.（1）若奇函数f(x）满足：f(?1)?0，当x?0时，xf(x)?f(x)?0，求解不等式f(x)?0。
解：令g(x)?f(x)xf?(x)?f(x)奇,当x?0,g?(x)??0?g(x)单减，又f(x)为奇?g(x)??偶，x?0,单增2xx奇，且g(1)=g(-1)=0,故解集为：x<-1或0 （2）若f(x)满足：f(0)=1,且3f(x)?f?(x)?3,求解不等式4f(x)?f?(x)。 解：f(x)?e3x?1但f(0)?0不合题意，则f(x)?2e3x?1，故4f(x)?f?(x)?2e3x?4?0?x?ln2。 3考点三。比大小，证明 3.（1）证明对任意正整数n，不等式ln(?1)?1n11?。 n2n33x3?x2?2x?111322解：令x=，设函数f(x)=x?x?ln(x?1)(0 xf(a)?f(b)f(b)?f(a)的大小。 与2b?af(a)?f(b)f(b)?f(a)(b?a)?2?(b?a?2)eb?aae，令g(x)=x+2+(x-2)ex,则g（0）解：作差法：=?（2b-a)2b?a=0,?g?(x)?1?(x?1)e在单调递增,即g?(x)?g?(0)?0，故g(x)在单调递增，?g(x)>g(0)=0,（0，??）（0，??）即xf(a)?f(b)f(b)?f(a)。 ?2b?aln(?x)1>。 2x（3）已知函数f(x)=-x-ln(-x)，x?[-e，0)，证明：f(x)?解：设g(x)?f(x)?ln(?x)ln(?x)lnu1=?x?ln(?x)?，令u=-x∈(0, e]，g(u)=u?lnu-，只需证g(u)>， xxu21lnu?1u2?u-1?lnu12u2?u?12?g'(u)=1??，令h(u)?u?u?lnu-1,?h?(u)?2u?1??, 22uuuuu?u?(1,2), 则h?(u)?0?h?(u)单增，令h?(u)?0，11<0，g'(u)<0，g(u)递减， g(u)≥g(1)=1>，不等式成立。 u2lnuu-111（2）当u∈(1, 2)，lnu uuu21133（3）当u∈[2, e)，ln(u)-1>0，1->0，g'(u)>0，g(u)递增，g(u)≥g(2)=2-ln2?2?lne=，不等式成立。 u222（1）当u∈(0, 1]，lnu-1<0，1-
构造函数(含答案)
