第一讲：二次函数与一元二次方程的综合 考试要求
内容 二次函数与一元二次方程综合题 要求 会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 中考分值 7 考察类型 二次函数与一元二次方程 方法策略
1. 熟练掌握二次函数的有关知识点
2. 掌握二次函数与一元二次方程的联系。
【例1】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值.
y（2）将二次函数y=（a－1）x2+2x+1的图象向右平移m个单位，
向下平移m2+1个单位，当 －2≤x≤1时，二次函数有最小值－3， 求实数m的值. 27.解：（1）∵二次函数y=（a－1）x2+2x+1与x轴有交点，
1令y=0，则（a－1）x2+2x+1=0，
例题精讲
∴?=4-4(a-1)?0，解得a≤2. …………………………………1分.
∵a为正整数. ∴a=1、2
又∵y=（a－1）x2+2x+1是二次函数，∴a－1≠0，∴a≠1， ∴a的值为2. ………………………………………2分 （2）∵a=2，∴二次函数表达式为y=x2+2x+1， 将二次函数y=x2+2x+1化成顶点式y=（x+1）2
二次函数图象向右平移m个单位，向下平移m2+1个单位 后的表达式为y=（x+1－m）2－（m2+1）.
此时函数的顶点坐标为（m－1, －m2－1）. …………………………………4分 当m－1＜－2，即m＜－1时， x=－2时，二次函数有最小值－3，
O1x27题图
∴－3=（－1－m）2－（m2+1），解得m??3且符合题目要求. ………………………………5分 2当 －2≤m－1≤1,即－1≤m≤2,时，当 x= m－1时，二次函数有最小值－m2－1=－3， 解得m??2.∵m?-2不符合－1≤m≤2的条件，舍去. ∴m?2.……………………………………6分
当m－1＞1，即m＞2时，当 x=1时，二次函数有最小值－3， ∴－3=（2－m）2－（m2+1），解得m?综上所述，m的值为?3,不符合m＞2的条件舍去. 23或2 ……………………………………7分 222【例2】 已知二次函数y?(k?1)x?(3k?1)x?2．
（1）二次函数的顶点在x轴上，求k的值；
（2）若二次函数与x轴的两个交点A、B均为整数点（坐标为整数的点），当k为整数时，求A、B两点的坐
标. 23.解：（1）方法一∵二次函数顶点在x轴上，
∴b2-4ac=0，且a≠0 ……………………1分 即?3a?1??4?2k?1?0，且k2-1≠0
22??k=3 ……………………3分
（2）∵二次函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，且a≠0． ……………………４分
2即（k-3）＞0，且k≠±1．
当k?3且k??1时，即可行．
∵A、B两点均为整数点，且k为整数 ∴x1=（3k-1）（+k-3）3k-1+k-34k-42 ===2（k2-1）2（k2-1）2（k2-1）k+1（3k-1）-（k-3）3k-1-k+32k+21……………………5分 x2====2222（k-1）2（k-1）2（k-1）k-1当k=0时，可使x1，x2均为整数，
∴当k=0时，A、B两点坐标为(-1，0)和(2，0)……………………6分
【例3】 已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线
y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．
y分
（1）证明：∵ △= (m+1)2－4×(－1)×(m+2)
2=(m+3). ……………………………………………………………1
∵ m＞0，
∴ (m+3)2＞0， 即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根. …………………………………2
（2）解：∵ 抛物线抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），
∴ －32+3(m+1)+(m+2)=0，………………………………………………3
Ox∴ m=1.
∴ y=－x2+2x+3. ………………………………………………………4
（3）解：∵ y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y=k(x+1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k(1+1)+4， ∴ k=0， ∴ y=4.
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为4. ………………………5∵ y=－x2+2x+3， ∴ 当x=0时，y=3，
∴ 该抛物线与y轴的交点为（0，3）.
分 分 分
分
∴ 此时直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标为3. ………………………6分 ∴ 3＜t≤4. …………………………………………………………………7分
22x?(5m?1)x?4m?m?0. 【例4】 已知关于x的一元二次方程
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；
22y??x?(5m?1)x?4m?m与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）（3）抛物线，现坐标系内有一矩形
OCDE，如图11，点C（0，－5)，D（6，－5) ，E（6，0),当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移h个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．
.解：(1)证明： Δ=[?(5m?1)]?4?1?(4m?m)………………1分 =9m2?6m?1 =(3m?1)
2∵ (3m?1)≥0， ………………2分
222∴ 无论m取何实数时，原方程总有两个实数根.
（2） 解关于x的一元二次方程x?(5m?1)x?4m?m?0，
得 x1?m,x2?4m?1. ………………3分 由题意得 ?解得
22?m?3?m?8………………4分 或??4m?1?8?4m?1?31?m?8. ………………5分 2（3）h?5或?4?h??9 . ……………7分
逆袭训练
1. 已知关于x的方程mx2－(3m－1)x+2m－2=0
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根．
（2）若关于x的二次函数y= mx2－(3m－1)x+2m－2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求二次函数的
表达式．
.解：(1)△=9m2－6m+1－8m2+8m=m2+2m+1，
=（m+1）2；
∴△=（m+1）2≥0，………………………………………….(1分) ∴无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
(2)设x1，x2为抛物线y=mx2－（3m－1）x+2m－2与x轴交点的横坐标． 令y=0，则mx2－（3m－1）x+2m－2=0
由求根公式得，x1=2，， …………………………….(2分)
∴抛物线y=mx2－（3m－1）x+2m－2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∴x2=0
或x2=4，∴m=1或 )
当m=1时，y=x2－2x，，∴抛物线解析式为y=x2－2x
18当 时,y??x2?2x?
3318答：抛物线解析式为y=x2－2x；或 y??x2?2x?……….(3分)
332. 已知：关于x的一元二次方程ax2?2(a?1)x?a?2?0(a?0)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若y是关于a的函数，且y?ax2?x1，求这个函数
的表达式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y??3a2?1，则自变量a的取值范围为 ． （1）证明：ax2?2(a?1)x?a?2?0(a?0)是关于x的一元二次方程，
???[?2(a?1)]2?4a(a?2) ······························································ 1分
=4．
即??0．
?方程有两个不相等的实数根． ························································ 2分 （2） 解：由求根公式，得x?∴x?1或x?1?2(a?1)?2． 2a2． ······································································· 3分 aQa?0，x1＞x2， ?x1?1，x2?1?2． ······································································ 4分 a?y?ax2?x1?a?1．
即y?a?1(a?0)为所求．………………………………………………………5分
23…………………………………………………………………………7分
（3）0＜a≤．
y3. 已知关于x的方程mx??3m?1?x?2m?2?0．
2（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y?mx??3m?1?x?2m?2的图象经过坐
2标原点，得到抛物线C1．将抛物线C1向下平移后经过点A?0,?2?进而得到新的抛物线C2,直线l经过点A和点B?2,0?，求直线l和抛物线
C2的解析式；
（3）在直线l下方的抛物线C2上有一点C，求点C到直线l的距离的最大值． 解：（1）当m?0时，x?2
当m?0时，???3m?1??4m?2m?2?
2Ox∵?m?1??0，∴??0
综上所述：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分 （2）∵二次函数y?mx?(3m?1)x?2m?2的图象经过坐标原点 ∴2m?2?0
∴m?1………………………4分
抛物线C1的解析式为：y?x?2x 抛物线C2的解析式为：y?x?2x?2 设直线l所在函数解析式为：y?kx?b
将A和点B?2,0?代入y?kx?b
∴直线l所在函数解析式为：y?x?2………5分 （3）据题意：过点C作CE?x轴交AB于E，
2222yB ODACEBx2EC 2设C?t,t2?2t?2?，E?t,t?2?，?0?t?3?
可证?DEC??OAB?45? ,则CD?∴EC?yE?yC??t2?3t
?3?9???t???………………………6分
?2?43??∵?0??3?
2??39∴当t?时，ECmax?
24∵CD随EC增大而增大，
9∴CDmax?2为所求.………………………7分
84. 已知关于x的方程x2??m?2?x?m?3?0．
（1）求证：方程x2??m?2?x?m?3?0总有两个实数根；
（2）求证：抛物线y?x2??m?2?x?m?3总过x轴上的一个定点；
（3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A，抛物线y?x2??m?2?x?m?3与x轴的另一
个交点为B，与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的取值范围． 解：（1）b2?4ac=?m?2??4?m?3?........................................................1分 =m2?4m?4?4m?12 =m2?8m?16 =?m?4? ∵?m?4??0，
∴方程x2??m?2?x?m?3?0总有两个实数根．..............................................2分 222y2Ox
中考数学二轮复习二次函数与一元二次方程的综合
