一．不等式的性质：
二．不等式大小比较的常用方法：
1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式
a2?b222a?b?2ab1.（1）若a,b?R，则 (2)若a,b?R，则ab?（当且仅当a?b时取“=”）
22. (1)若a,b?R*，则a?b?ab (2)若a,b?R*，则a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=”）
2a?b? (当且仅当a?b时取“=”(3)若a,b?R，则ab??） ???2?*23.若x?0，则x?若x?0，则x?1?2 (当且仅当x?1时取“=”）; x1??2 (当且仅当x??1时取“=”） xxxx若x?0，则x?1?2即x?1?2或x?1?-2 (当且仅当a?b时取“=”） 若ab?0，则a?b?2 (当且仅当a?b时取“=”）
ba若ab?0，则
ababab） ??2即??2或??-2 (当且仅当a?b时取“=”
bababa22224.若a,b?R，则(a?b)2?a?b（当且仅当a?b时取“=”）
注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求
它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．
a+b+c
5.a3+b3+c3≥3abc（a,b,c ? R+）, 3 ≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）； 1
6. n (a1+a2+??+an)≥na1a2?an(ai ? R+,i=1,2,?，n)，当且仅当a1=a2=?=an取等号；
a+ba+b+c
变式：a2+b2+c2≥ab+bc+ca; ab≤( 2 )2 (a,b? R+) ; abc≤( 3 )3(a,b,c ? R+)
2aba+ba2+b2a≤ a+b ≤ab ≤ 2 ≤ 2 ≤b.(0 b－nbb+m < a < a+m ,a>b>n>0,m>0; a－n 应用一：求最值 11 例1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋2x 2 （2）y＝x＋x 1 解题技巧： 5，求函数y?4x?2?1的最大值。 44x?5评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求y?x(8?2x)的最大值。 技巧一：凑项 例1：已知x?x2?7x?10(x??1)的值域。 技巧三： 分离 例3. 求y?x?1技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。 (t?1)2?7(t?1）+10t2?5t?44y?=?t??5 ttt4当,即t=时,y?2t??5?9（当t=2即x＝1时取“＝”号）。 t技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数f(x)?x?调性。例：求函数y?a的单xx2?5x?42的值域。 1?t?(t?2) tx2?41解：令2xx?4?t(t?2)，则y??5?x2?42x2?4?11因t?0,t??1，但t?解得t??1不在区间?2,???，故等号不成立，考虑单调性。 tt15因为y?t?在区间?1,???单调递增，所以在其子区间?2,???为单调递增函数，故y?。 2t?5?所以，所求函数的值域为?,???。 ?2?2．已知0?x?1，求函数y?x(1?x)的最大值.；3．0?x?条件求最值 1.若实数满足a?b?2，则3a?3b的最小值是 . 2，求函数y?3x(2?3x)的最大值. 分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a?3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值， 解： 3a和3b都是正数，3a?3b≥23a?3b?23a?b?6 当3a?3b时等号成立，由a?b?2及3a?3b得a?b?1即当a?b?1时，3a?3b的最小值是6． 11变式：若log4x?log4y?2，求?的最小值.并求x,y的值 xy技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2 192：已知x?0,y?0，且??1，求x?y的最小值。 xyy 2 技巧七、已知x，y为正实数，且x＋ ＝1，求x1＋y 2 的最大值. 2 a 2＋b 2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。 2 2 1 同时还应化简1＋y 中y前面的系数为 2 ， x1＋y 2 ＝x 22 1＋y 21y 22·2 ＝2 x·2 ＋2 1y 2下面将x，2 ＋2 分别看成两个因式： 2 1y 221 2 2yx＋( ＋ )x＋ ＋ 22221y 231y 22x·2 ＋2 ≤ ＝ ＝4 即x1＋y ＝2 ·x 222 ＋2 ≤ 3 4 2 1 技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ab 的最小值. 分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。 30－2b30－2b－2 b 2＋30b 法一：a＝ ， ab＝ ·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15 b＋1b＋1b＋1－2t 2＋34t－311616 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ttt ≥2 1 ∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。 18 16t·t ＝8 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab ∴ 30－ab≥22 ab 令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32 1 ∴ab ≤32 ，ab≤18，∴y≥ 18 a?b?ab（a,b?R?）点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知2不等式ab?a?2b?30出发求得ab的范围，关键是寻找到a?b与ab之间的关系，由此想（a,b?R?）a?b?ab（a,b?R?），这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围. 2变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方 到不等式 5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. 3
高中不等式所有知识及典型例题(超全)
