第2课时 等差数列的性质
学习目标：1.掌握等差中项的概念及其应用.2.掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)3.理解等差数列的项的对称性．(重点)4.能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等差数列的单调性与图像
阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题 (1)等差数列的图像
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示． 当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示． 当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．
甲 乙 丙
思考：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？
[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列． (2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？
[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率． 2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a
Ruize
与b的等差中项．
思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A? a＋b
[提示] A＝2.
(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．
[基础自测]
1．判断正误
(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( ) (2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.( ) (3)任何两个数都有等差中项．( )
[解析] (1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)正确． [★答案★] (1)× (2)√ (3)√
2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为( )
【导学号：91022035】
A．3 C．－3
1
B．3 1D．－3 A [a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.] 3.2＋1和2－1的等差中项为________． [解析]
2＋1＋2－1
＝2.
2
2
[★答案★]
4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________.
【导学号：91022036】
[解析] a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3. [★答案★] 3
[合 作 探 究·攻 重 难]
Ruize
等差数列的性质
(1)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋
a8＝________.
(2)已知数列{an}是等差数列，且满足a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a14＝77，ak＝13，则k＝________.
[解析] (1)根据等差数列的性质，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.
(2)因为a4＋a10＝2a7，a4＋a14＝a5＋a13＝a6＋a12＝a7＋a11＝a8＋a10＝2a9. 17
所以3a7＝17,11a9＝77，所以a7＝3，a9＝7. 则等差数列的公差为d＝2
ak＝3k＋1＝13，解得k＝18.
[★答案★] (1)10 (2)18
[规律方法] 等差数列性质的应用
解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想.
[跟踪训练]
1．在公差为d的等差数列{an}中.
【导学号：91022037】
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d. [解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下： (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48， 即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.
Ruize
a9－a7222
＝3，所以an＝a9＋(n－9)×3＝3n＋1，所以9－7
(2)化成a1和d的方程组如下：
??a1＋d?＋?a1＋2d?＋?a1＋3d?＋?a1＋4d?＝34，?
?a1＋4d?＝52，??a1＋d?·
?a1＝1，?a1＝16，
解得?或?
d＝3d＝－3.??∴d＝3或－3.
法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48， ∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.
(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34， ∴a2＋a5＝17.又∵a2·a5＝52， ?a2＝4，?a2＝13，∴?或? ?a5＝13?a5＝4，∴d＝
等差中项及其应用 已知a，b，c成等差数列，求证a2(b＋c)，b2(a＋c)，c2(a＋b)成等差
数列.
【导学号：91022038】
[思路探究] 证明2b2(a＋c)＝a2(b＋c)＋c2(a＋b)，即可证明三者成等差数列．
[证明] 因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a) ＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b) ＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0， 所以a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，
所以a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列． [规律方法] 判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列.
Ruize
13－44－13
＝3或d＝＝－3. 5－25－2
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)?{an}是等差数列. (3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)?{an}是等差数列. [跟踪训练]
b＋ca＋ca＋b111
2．已知a，b，c成等差数列，求证：a，b，c也成等差数列． 111
[证明] 因为a，b，c成等差数列， 211所以b＝a＋c， 即2ac＝b(a＋c)．
b＋ca＋bc?b＋c?＋a?a＋b?因为a＋c＝
ac
c2＋a2＋b?a＋c?a2＋c2＋2ac2?a＋c?22?a＋c?＝＝＝＝b，
acacb?a＋c?b＋ca＋ca＋b
所以a，b，c成等差数列．
等差数列性质的综合应用 [探究问题] 1．若数列{an}是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？
am－an
[提示] d＝，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率．
m－n2．等差数列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？ [提示] am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d， ap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，∴am＋an≠ap.
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] (λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(与n无关的常数)，故{λan＋b}为等差数列，公差为λd.
在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求数列{an}的通项公式.
Ruize
高中数北师大必修五案：第1章 §2 2.1 第2课时 等差数列的性质 Word含答案
