2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题及答案解析
一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫2(C)∫2
+∞1√?????? (B)∫2
+∞??????
??
????
+∞
???? (D) ∫2????????
1+∞??
????????
【答案】D。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫2
+∞1√????=2√??|2
??=
+∞
=+∞；
12
+∞2
+∞?????? ∫????2??+∞
∫2????????(??????)
=(??????)|
2
=+∞；
∫2 ∫2
+∞1????????
????=∫2
+∞1
??????
??(??????)=ln?(??????)|+∞2=+∞；
+∞???
+∞??
????=?∫2
????+∞
∞
?????????=????????|+2+∫2
??????
∞ =2???2??????|+=3???2， 2
因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数??(??)=lim(1+
??→0
??????????
)在(-∞,+∞)内
??2
??
(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B
【解析】这是“1∞”型极限，直接有??(??)=lim(1+
??→0
??????????
??2??)
=??
lim(1+??2??→0??????????
?1)??=e
??lim
??????????→0??=????(??≠0),
??(??)在??=0处无定义，
且lim??(??)=lim????=1,所以 ??=0是??(??)的可去间断点，选B。
??→0
??→0
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数??(??)={
??αcos
1??β
,??>0，
(α>0,??>0).若??′(??)在??=0处连续，则
0,??≤0
(A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0
????α?1cosβ+β??α?β?1sinβ,??>0，
???? ??′(??)={
0,??≤0
′()再有 ??+0=lim+
x→0
′() ???0=0
??(??)???(0)
??1
1
=lim??α?1cos??β={+
x→0
1
0, α>1,
不存在，α≤1，
于是，??′(0)存在?α>1，此时??′(0)=0. 当α>1时，lim??α?1cos??β=0，
x→0
1
limβ??
x→0
α?β?1
sin??β={
不存在，α?β?1≤0，
1
0, α?β?1>0,
因此，??′(??)在??=0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数??(??)在(-∞,+∞)内连续，其
二阶导函数??′′(??)的图形如右图所示， 则曲线??=??(??)的拐点个数为 (A)0 (B)1
A O B ??
??′′(??) (C)2 (D)3 【答案】C
【解析】??(??)在(-∞,+∞)内连续，除点??=0外处处二阶可导。 ??=??(??)的可疑拐点是??′′(??)=0的点及??′′(??)不存在的点。
??′′(??)的零点有两个，如上图所示，A点两侧??′′(??)恒正，对应的点不是??=??(??)拐点，B点两侧??′′(??)异号，对应的点就是??=??(??)的拐点。
虽然f′′(0)不存在，但点x=0两侧f′′(x)异号，因而(0,f(0)) 是y=f(x)的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数??(μ,ν)满足??(??+??,)=??2???2，则|μ=1与|μ=1依次是
???μ?ν
ν=1
ν=1
12
12
??
???
???
(A),0 (B)0,
12
12
(C)?,0 (D)0,? 【答案】D
【解析】先求出f(μ,ν) μ=x+y,x=,1+νy令{ν=,?{μν
y=,x
1+νμ2
μ2ν2
μ2(1?ν)1+ν
μ
于是 f(μ,ν)=(1+ν)2?(1+ν)2=因此?μ|μ=1=2μ(1+ν?1)|
ν=1?f
2
=μ2(1+ν?1)
2
(1,1)
=0
12
|μ=1=?
?νν=1
?f
2μ2(1+ν)2
|
(1,1)
=?
综上所述，本题正确答案是D。
【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分
(6)设D是第一象限中由曲线2????=1,4????=1与直线??=??,??=√3?? 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则?f(x,y)dxdy= D (A)∫dθ∫
π
3π41sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
(B) ∫dθ∫π3π4
π3π4
1√sin2θ1√2sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
(C) ∫dθ∫
π3π41sin2θ12sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr
(D) ∫dθ∫1√sin2θ1√2sin2θf(rcosθ,rsinθ)dr
【答案】 B
【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=√3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将?f(x,y)dxdy化为累次积分。 D D的极坐标表示为
π3
≤θ≤，4
π1√sin2θ≤θ≤
1√2sin2θ，
因此
?f(x,y)dxdy=∫dθ∫D
π
3π41√sin2θ1√2sin2θf(rcosθ,rsinθ)rdr
综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。
1111
(7)设矩阵A=[12??],b=[??]。若集合Ω={1,2}，则线性方程 ????=?? 有无穷多解的充分必要
14??2??2条件为
(A)???Ω,???Ω (B) ???Ω,??∈Ω (C)??∈Ω,???Ω (D) ??∈Ω,??∈Ω 【答案】D
【解析】Ax=b 有无穷多解?r(A|b)=r(A)<3
|A|是一个范德蒙德行列式，值为(a?1)(a?2),如果a?Ω，则 |A|≠0，r(A)=3，此时Ax=b有唯一解，排除(A),(B) 类似的，若d?Ω，则r(A|b)=3，排除(C)
当a∈Ω,d∈Ω时，r(A|b)=r(A)=2，Ax=b 有无穷多解 综上所述，本题正确答案是D。
【考点】线性代数-线性方程组-范德蒙德行列式取值，矩阵的秩，线性方程组求解。 (8)设二次型??(??1,??2,??3)在正交变换??=????下的标准形为2y12+y22?y32,其中??=(????,????,????),若
Q=(????,?????,????)在正交变换
??=????下的标准形为
(A) 2y12?y22+y32 (B) 2y12+y22?y32 (C) 2y12?y22?y32 (D) 2y12+y22+y32 【答案】A
【解析】设二次型矩阵为A,则
200
??????=??????=[010]
00?1
???
??
可见????,????,????都是A的特征向量，特征值依次为2,1,-1，于是-????也是A的特征向量，特征值为-1，因此
200
??????=??????=[0?10]
001
??
???
因此在正交变换??=????下的标准二次型为2y12?y22+y32 综上所述，本题正确答案是A。
【考点】线性代数-二次型-矩阵的秩和特征向量，正交变换化二次型为标准形。 二、填空题：(9~14)小题，每小题4分，共24分。 ??=?????????????? ,??2??
(9)设{则|=
??=3??+??3,????2??=1 【答案】48
【解析】由参数式求导法 ????=????′=
??
????
??′3+3??2
11+??2=3(1+??2)2
再由复合函数求导法则得
????2=????[3(1+??2)2]=????[3(1+??2)2]????=6(1+??2)?2?????′ ??
??2??
????????1
=12??(1+??2)2, ????2|
??2??
??=1
=48
考研数学二真题及答案解析
