《概率论与数理统计》试题（1）
一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）
⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( ) ⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ）
⑸ 样本方差S2n=
1n?(Xi?1ni?X)2是母体方差DX的无偏估计 （ ）
二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅A发生，B、C都不发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。
三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为
X
P2?2?101111156515311 301?|x|e ，?＜ x＜?， 2求Y?X的分布列.
五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)?求X的数学期望和方差.
六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14?X?30). x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设X1,X2,?,Xn是来自几何分布 P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?,0?p?1，
的样本，试求未知参数p的极大似然估计.
《概率论与数理统计》试题（1）评分标准
一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC
（2）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；
（3）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （4）ABC?ABC?ABC；
（5）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC 每小题4分；
三 解 设A?‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,a?x?y，则
0?x?a,0?y?a,0?x?y?，a不等式构成平面域S.------------------------------------5分
aaa?x?y?a a A发生?0?x?,0?y?,222S a /2 不等式确定S的子域A，----------------------------------------10分
所以
A a /2 a P(A)?0
四 解 Y的分布列为
A的面积1? -----------------------------------------15分
S的面积40 1P5五 解 EX???Y1730415911 . 30 Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；
1?|x|x?（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 ???2edx?0，
????12x2e?|x|dx??x2e?xdx DX?EX????02 ??xe2?x??0?2?????0??0xe?xdx
e?xdx]?2.----------------------------------------10分
?2[?xe
?x??0六 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分
30?2014?20)??()---------------------------10分 1616 ??(2.5)??(?1.5)
P(14?X?30)??( =0.994+0.933--1
?0.927.--------------------------------------------------15分
n?,xnp;?)七 解 L(x1,?pi?1n?(p1xi?1)?pn?xi?n?p(1i?1)----------5分
lnL?nlnp?(?Xi?1nni?n)ln(1?p),
Xi?ndlnLn? ??i?1?0,--------------------------------10分 dpp1?p解似然方程
?n??Xini?1 ， ?p1?p得p的极大似然估计
1p?。--------------------------------------------------------------------15分 ?X
n
《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发
生的概率为__________.
2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______. 3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率
密度为fY(y)?_________.
?24． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?e，则
2??_________，P{min(X,Y)?1}=_________.
5． 设总体X的概率密度为
???(??1)x,0?x?1, f(x)?? ???1.
?其它?0,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.
解：1．P(AB?AB)?0.3
即 0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB)
所以 P(AB)?0.1
P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9. 2．P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e????e,??P(X?2)??22e??
由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e????e???2?2e??
2 即 2????1?0 解得 ??1，故
1?1e. 6 3．设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则
P(X?3)? FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?P(?y?X?)yX?F()Xy? F(?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故
?1,0?y?4,1?fY(y)?FY?(y)?fX(y)??4y
2y?0,其它.? 另解 在(0,2)上函数y?x2严格单调，反函数为h(y)?y 所以
?1,0?y?4,1?fY(y)?fX(y)???4y
2y??0,其它. 4．P(X?1)?1?P(X?1)?e???e?2，故 ??2
P{min(X,Y)?1}?1?P{min(X,Y)?1}?1?P(X?1)P(Y?1)
?1?e?4. 5．似然函数为 L(x1,?,xn;?)??(??1)x??(??1)(x,?,x)?
ni1ni?1n lnL?nln(??1)???lnxi?1ni
ndlnLn ???lnxi?0
d???1i?1 解似然方程得?的极大似然估计为
?? ?11n?lnxini?1?1.
二、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则A?C与B也独立. （C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.
（D）若C?B，则A与C也独立. （ ） 2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.
（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ） 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是
（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.
（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ） 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为
(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 1111P??69183 若X,Y独立，则?,?的值为
2112 （A）??,??. （A）??,??.
99991151,??. （ ） （C） ??,?? （D）??6618185．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中
正确的是
（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）
解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）.
事实上由图 可见A与C不独立.
S A B C
2．X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2)
(2)??(?2)?1?[2?(2?) ?1?? 3．由不相关的等价条件知应选（B）. 4．若X,Y独立则有
X 1]?2?[1 ? 应选（A）.
Y ??P(X?2,Y?2)?P(X?2)P(Y?2)
12311111121 18 3 ?(????)(??)?(??) 6 93939112??????2133 ???， ?? 99111????29181 故应选（A）.
5．EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.
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