第六章 万有引力
要点提示：
一、开普勒行星三大定律
1、开普勒第一定律（轨道定律）：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上； 2、开普勒第一定律（面积定律）：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等；
3、开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道半长轴的三次方跟周期的平方的比值是常量；若用R表
3R示椭圆轨道的半长轴，T表示公转周期，则2?k，其中k是一个与行星无关的常量。 T需明确：○1在三大定律中，前两个作为了解，第三定律作为考试内容； 2行星的轨道严格说来是椭圆，但在具体计算时通常视作匀速圆周运动； ○
3注意k是一个与行星无关的常量，但他与中心天体的质量有关，另外不同中心天体的k值是不同的； ○
4开普勒第三定律与万有引力定律具有内在一致性，可以相互推导 ○
例1、（基本概念理解）关于公式R／T=k,下列说法中正确的是（ ）
A.公式只适用于围绕太阳运行的行星 B.不同星球的行星或卫星，k值均相等 C.围绕同一星球运行的行星或卫星，k值不相等 D.以上说法均错 例2、（运用开三定律计算）地球质量大约是月球质量的81倍,在登月飞船通过月、地之间的某一位置时，月球和地球对它的引力大小相等，该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（ ） A. 1：27 B. 1：9 C. 1：3 D. 9：1
例 例4、（2010·新课标卷）20.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是lg(T/TO)，纵轴是lg(R/RO);这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，TO和R0分别是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是
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答案：B 例5、（2011·新课标全国卷·T19）卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球
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运动的轨道半径约为3.8×10km，运行周期约为27天，地球半径约为6400km，无线电信号的传播速度为
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3×10m/s，）
A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s 【答案】选B
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全力以赴，用拼的精神创造奇迹！
例6、（2011·安徽高考·T22）（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴
a3?k，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即2T绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M。
太（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84?10m，月球绕地球运动的周期为2.36?10S，试计算地球的质量M地。
-1122G=6.67?10N?m/kg（，结果保留一位有效数字）
86【答案】（1）
GM太（2）M太=6?1024kg 24?二、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积_______，与它们之间距离r的二次方_______.
-1122
2.公式：F=_______，其中G为引力常量，G=6.67×10 N·m/kg，由卡文迪许扭秤实验测定. 3.适用条件：两个质点之间的相互作用.
(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离.
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为质点到球心间的距离. 需明确：
1用万有引力定律处理天体问题，主要有两条解题思路： ○
（1）在地面附近把万有引力看成等于物体受的重力，即F引?mg，主要用于计算涉及重力加速度的问题；
GMmmg＝2(g为星体表面处的重力加速度)．（万能公式）
R（2）把天体的运动看成是匀速圆周运动，且F引?F向心，主要用于计算天体质量、密度以及讨论卫星的速度、角速度、周期随轨道的变化而变化等问题。
2地面上物体的重力是由于地球对物体的万有引力引起的，但一般情况下这两者并不相等，因为地面上物○
体随地球自转的向心力也由万有引力的一个分力提供，不过这一分力却较小，实际计算中常常忽略。
2
Mmv24π2
G2＝m＝mωr＝m2·r＝ma
rrT3人造卫星中的物体所受地球的万有引力全部提供卫星作圆周运动的向心力，因此卫星内部的物体处于○
完全失重状态。 例1、（基本概念）对于万有引力定律的数学表达式F＝GMm，下列说法正确的是（ ）
R2 Ａ．公式中G为引力常数，是人为规定的 Ｂ．r趋近于零时，万有引力趋于无穷大
Ｃ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2的质量是否相等无关
Ｄ．m1、m2之间的万有引力总是大小相等方向相反，是一对平衡力 例2、（星球的重力加速度）物体在月球表面的重力加速度是在地球表面的重力加速度的1/6，这说明了（ ）
A．地球的半径是月球半径的6倍 B．地球的质量是月球质量的6倍
C．月球吸引地球的力是地球吸引月球的力的1/6
D．物体在月球表面的重力是其在地球表面的重力的1/6 例3、太阳表面半径为R’，平均密度为ρ′，地球表面半径和平均密度分别为R和ρ，地球表面附近的重力加速度为g0 ，则太阳表面附近的重力加速度g′（ ）
?' R?R'?'R'g0''A．R B．? g0 C．R?g0 D．R?g0 例4、(1988年·全国高考)设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地
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球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为（ ）
Ａ．1 Ｂ．1/9 Ｃ．1/4 Ｄ．1/16
例5、(注意新题型的特点)[2012·课标全国卷] 假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )
dd?R－d?2 D.?R?2 A．1－ B．1＋ C.???R－d?RR?R???答案：21．A 例6、（2010·上海物理）15. 月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则 （A）g1?a （B）g2?a （C）g1?g2?a （D）g2?g1?a
解析：选B。 例7、（星球的质量）已知太阳光从太阳射到地球需时间500s,地球公转轨道可近似看成圆轨道,地球半径为6400km,试计算太阳质量M与地球质量m之比?
例8、设在地球上和在x天体上，以相同的初速度竖直上抛一物体，物体上升的最大高度比为K(均不计阻力)，且已知地球和x天体的半径比也为K，则地球质量与x天体的质量比为（ ）
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A．1 B．K C．KD．1/K 例9、（星球的周期问题）假如地球自转速度达到使赤道上的物体“飘”起来(即完全失重)，那么地球上一
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天等于多少小时？(地球半径取6.4×10 m)
例10、（行星运行的轨道半径）飞船以a＝g/2的加速度匀加速上升，由于超重现象，用弹簧秤测得质量为
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10 kg的物体重量为75 N．由此可知，飞船所处位置距地面高度为多大？(地球半径为6400 km， g＝10 m/s)
三、三种宇宙速度
需明确：根据考纲要求，第一宇宙速度要掌握，其他两个作为了解
例1、月球的质量约为地球的1/81，半径约为地球半径的1/4，地球上第一宇宙速度约为7.9km/s,则月球上第一宇宙速度月为多少？
例例4、我们在推导第一宇宙速度的公式v?gR时，需要做一些假设和选择一些理论依据，下列必要的
假设和理论依据有（ ）
A. 卫星做半径等于地球半径的匀速圆周运动
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一轮复习万有引力与航天讲义
