广东省佛山市中大附中三水实验中学高三数学《3.7-8正弦定理、
余弦定理及应用举例》基础复习学案 新人教A版
[研读考纲] [知识梳理] [备考建议]
1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
2．联系生活实例，体会建模过程，掌握运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本方法．加强解三角形及解三角形的实际应用，培养数学建模能力． [方法提示] 两类问题
在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角． 两种途径
根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 一个步骤
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 两种情形
解三角形应用题常有以下两种情形
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． [考向训练]
一、正、余弦定理
例1.（2011全国新课标理16）?ABC中，B?60?,AC?3,，则AB+2BC的最大值为_________．
例2.（2011山东理17）在?ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知
1
cosA-2cosC2c-asinC1=cosBb．（I）求sinA的值； （II）若cosB=4，b=2，?ABC的面积S。
222sinA?sinB?sinC?sinBsinC．则A的取值?ex: 1.（2011四川理6）在ABC中．
????范围是 （ ） A．（0，6] B．[ 6，?） C．（0，3] D．[ 3，?）
2.（2011辽宁理4）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
b?22aaasinAsinB+bcosA=，则（ ）
（A）23 （B）22
（C）3 （D）2 4.（2011福建理）△ABC中，AB=AC=2，BC=23，点D 在BC边上，∠ADC=45°，则AD的长度等于______。
5.（2011北京理9）在?ABC中。若b=5，
?B??4，tanA=2，则sinA=____；a=______.
6.（2011全国大纲理17）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．己知A—C=90°，a+c=2b，求C．
7.【2012天津理6】在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c，已知8b=5c，C=2B，则cosC=( )
（A）
77724 （B）? （C）? （D） 252525252
8.【2012高考湖北理11】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
(a?b?c)(a?b?c)?ab，则角C? ．
9.【2012高考北京理11】在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=?二、三角形的形状判断
1，则b=_______。 42例1.【2012高考上海理16】在?ABC中，若sinA?sinB?sinC，则?ABC的形状是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
?π?则△ABC例2．(2011·青岛模拟)△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈?0，?，
2??
的形状是( )
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
ex: 1.(四川省泸州高中2011届高三一模适应性考试)在⊿ABC中，若sin2A=sin2B,则⊿ABC的形状是 ( ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 2.(2010·辽宁)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.
(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
三、正余弦定理的应用举例
例1.（2011上海理6）在相距2千米的A．B两点处测量目标C，若
22?CAB?750,?CBA?600，则A．C两点之间的距离是 千米。
例2.【2012江西理17】（本小题满分12分） 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知A?（1）求证： B?C?
ex：1．(2010·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a－b＝3bc，sinC＝23sinB，则A＝( ) A．30° B．60° C．120° D．150°
2．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为0.5，那么b为( )
3＋3
A．1＋3 B．3＋3 C. D．2＋3
3
2
3．已知锐角A是△ABC的一个内角，a、b、c是三角形中各内角的对应边，若sinA12
－cosA＝，则( ) A．b＋c＝2a B．b＋c<2a C．b＋c≤2a D．b＋c≥2a
2
3
2
2
?,bsin(?C)?csin(?B)?a 444???2（2）若a?2，求△ABC的面积。
广东省佛山市中大附中三水实验中学高三数学《3.78正弦
