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中考数学专题训练【综合型问题】提升与解析
1在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E、F分别在线段AB、CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：①若DE2=BD·EF，则DF=2AD. 则（ ）
A、①是真命题，②是真命题 B、①是真命题，②是假命题 C、①是假命题，②是真命题 D、①是假命题，②是假命题
【解题思路】根据图像和面积的计算可设BE=2x，AE=3x，由菱形的性质可知DE=2x，在Rt△DAE中，有勾股定理的DA= x，所以tan∠EDF=tan∠DEA=
SABCD2?33，则tan∠EDF=；②若?3SBFDE23DAx?； AE3x3由菱形面积的计算方法可知：用DF·AD计算，所以【答案】A
1BD·EF就是菱形BFDE的面积，而菱形BFDE的面积还可以212
DE=DF·AD化简整理的DF=2AD 2【点评】本题主要考查有关面积的计算，其中涉及到勾股定理、菱形的性质、锐角三角函数值，是一道综合性很强的题。难度较大
2．如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3) ，把直线 OA 向下平移后，与反比例函数的图象交于点B(6,m)，与x轴、y轴分别交于C、D两点 ⑴求 m的值；
⑵求过 A、B、D 三点的抛物线的解析式；
⑶ 若点E是抛物线上的一个动点，是否存在点 E ，使四边形 OECD 的面积S1 ，是四边形OACD 面积S的
2?若存在，求点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 3- -优质-
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．
【解题思路】⑴设正比例函数和反比例函数的解析式分别为y?kx(k?0),y? ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A ( 3 , 3)
n(n?0) x3?1，n?3?3?9 39 ∴y?x，y?
x ∴k? ∵点B(6,m)在反比例函数y? ∴m?9的图像上 x93? 623)， 2⑵由⑴得点B(6，
设直线OA 向下平移后BD的解析式为：y?x?t
39)代入BD的解析式：y?x?t得t?? 229∴D(0，?)
239设过A ( 3 , 3)，B(6，)，D(0，?)的
22把点B(6，
9?9a?3b??3?9?22抛物线的解析式为y?ax?bx?(a?0)则?
932?36a?6b???22?1,b?4. 2129 ∴y??x?4x?
229999⑶ ∵BD：y?x?，∴令y?x??0得x?则C(,0)
222219199135∴s???3????
222228解得：a??- -优质-
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2213545 S???33841919945假设存在点E，则?yE?????
22222411291∴yE?，令y??x?4x??
2222∴S1?解得x1?4?6，x2?4?∴E(4?6，)
【点评】这是一道典型的数形结合的试题，综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数、点的坐标、方程、直角坐标系中平行线解析式的处理，知识的综合运用能力强，要求学生有直觉猜想、空间想象、合情推理、抽象概括、符号表示、运算求解、演绎说理等综合能力.难度较大.
3.如图所示,AC为⊙O的直径,且PA⊥AC,BC是⊙O的一条弦,直线PB交直线AC于点D,DB?DC?2.
DPDO3(1)求证:直线PB是⊙O的切线； (2)求cos∠BCA的值.
【解题思路】第(1)小题要证切线,须连半径,证垂直.连接OB、OP,证明?BOP≌?AOP即可；
第(2)小题要利用平行线性质将所求问题转化为求?POA的余弦值,在Rt?POA中,设出PA?a,根据已知条件用含a的代数式表示边OA、OP的长,再利用三角函数求之.
【答案】(1)证明:连接OB、OP ………………………………………………………(1分)
∵DB?DC?2 且∠D=∠D
DPDO3∴△BDC∽△PDO ∴∠DBC=∠DPO
B
P
D
C
O
P
B
6（不合题意，舍去）
12· A
· D C O
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A
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