一、填空题(共21分 每小题3分)
?z?y2?1221.曲线?绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z?x?y?1.
?x?0?x?3t?x?2y?4z?2.直线L1:. ??与直线L2:?y??1?3t的夹角为
2?2?53?z?2?7t?2223.设函数f(x,y,z)?x?2y?3z,则gradf(1,1,1)?{2,4,6}.
4.设级数
un??un收敛,则nlim??n?1?0.
?0,???x?05.设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)?? 则它的傅里叶级数在x??处
?1?x,0?x??,收敛于
1??2.
6.全微分方程ydx?xdy?0的通解为
xxy?C.
7.写出微分方程y???y??2y?e的特解的形式
y*?axex.
二、解答题(共18分 每小题6分)
?x?2y?z?3?01.求过点(1,?2,1)且垂直于直线?的平面方程.
?x?y?z?2?0???ijk??解:设所求平面的法向量为n,则n?1?21??1,2,3? (4分)
11?1所求平面方程为 x?2y?3z?0 (6分) 2.将积分
???f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分,其中?是曲面
? z?2?(x?y)及z?222x2?y2所围成的区域.
解: ?: r?z?2?r, 0?r?1, 0???2? (3分)
????f(x,y,z)dv??d??rdr?002?12?r2rf(rcos?,rsin?,z)dz (6分)
3.计算二重积分I???eD?(x2?y2)dxdy,其中闭区域D:x2?y2?4.
解 I??02?d??e02?r22?r212?1?42rdr???0d??0ed(?r)???2??0de?r??(1?e)
2222 三、解答题(共35分 每题7分)
221.设z?ue,而u?x?y,v?xy,求dz.
v解:
?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3) ?x?u?x?v?x(3分)
?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2) (6分) ?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy (7分)
z2.函数z?z(x,y)由方程e?xyz?0所确定,求
?z?z,. ?x?y解:令F(x,y,z)?e?xyz, (2分)
z则 Fx??yz, Fy??xz, Fz?e?xy, (5分)
zFy?zxzFx?zyz???z , . (7分) ???z?yFze?xy?xFze?xy3.计算曲线积分向弧段.
解:添加有向辅助线段OA,有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D,根据格林
公式
?L?ydx?xdy,其中L是在圆周y?2x?x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有
?L?ydx?xdy???2dxdy??OA?ydx?xdy (5分)
D ?2?4.设曲线积分求f(x).
?2?0?? (7分)
?L[ex?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关,其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)?1,
?P?Qx?解: 由 得 e?f(x)?f?(x), ?y?x即f?(x)?f(x)?e (3分)
?(?1)dx(ex?e??dxdx?C)?ex(x?C), (6分) 所以 f(x)?e?x? 代入初始条件,解得C?1,所以f(x)?e(x?1). (7分)
x(n!)25.判断级数?的敛散性.
n?1(2n)!?un?1[(n?1)!]2?lim解: 因为 limn??un??(2n?2)!n(n!)2 (3分) (2n)!1(n?1)2??1 (6分) ?limn??(2n?2)(2n?1)4故该级数收敛. (7分)
四、(7分)计算曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy,其中?是上半球
?面z?1?x?y的上侧.
解:添加辅助曲面?1:z?0,x?y?1,取下侧,则在由?1和?所围成的空间闭区域?上应用高斯公式得
2222??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy
????1 ???xdydz?ydzdx?zdxdy (4分)
?1 ?3???dv?0 (6分)
? ?3?14??2?. (7分) ?23 五、(6分)在半径为R的圆的内接三角形中,求其面积为最大的三角形.
解:设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z,则x?y?z?2?, 且面积为A?12R(sinx?siny?sinz), 2 令F?sinx?siny?sinz??(x?y?z?2?) (3分)
?Fx?cosx???0?F?cosy???02??y由 ? (4分)得x?y?z?.此
3?Fz?cosz???0??x?y?z?2?时,其边长为2?3R?3R. 由于实际问题存在最大值且驻点唯一,故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大. (6分)
xn六、(8分)求级数?的收敛域,并求其和函数.
n?1n?解: R?limn??an(n?1)?lim?1,故收敛半径为R?1. (2分) an?1n??n当x??1时,根据莱布尼茨判别法,级数收敛; 当x?1时, 级数为调和级数,发散.
故原级数的收敛域为[?1,1). (5分)
xn设和为S(x),即S(x)??,求导得
n?1n?S?(x)??xn?1?n?1?1, (6分) 1?x再积分得 S(x)??0S?(x)dx
1dx??ln(1?x),(?1?x?1) (8分) 01?xxx??七、(5分)设函数f(x)在正实轴上连续,且等式
?1xyf(t)dt?y?f(t)dt?x?f(t)dt
11xy对任何x?0,y?0成立.如果f(1)?3,求f(x). 解:等式两边对y求偏导得
xf(xy)??f(t)dt?xf(y) (2分)
1x上式对任何x?0,y?0仍成立.令y?1,且因f(1)?3,故有
xf(x)??f(t)dt?3x. (3分)
1x由于上式右边可导,所以左边也可导.两边求导,得
xf?(x)?f(x)?f(x)?3 即f?(x)?3x(x?0).
故通解为 f(x)?3lnx?C.当x?1时,f(1)?3,故C?3. 因此所求的函数为 f(x)?3(lnx?1). 八. (5分)已知y1 (5分)
?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x
2x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解,求此微分方程. 解1:由线性微分方程解的结构定理知e与e?x是对应齐次方程的两个线性无
关的解,xe是非齐次方程的一个特解,故可设此方程为 将yxy???y??2y?f(x)
?xex代入上式,得f(x)?ex?2xex,因此所求的微分方程为
y???y??2y?ex?2xex
2x
解2:由线性微分方程解的结构定理知ex与e?x是对应齐次方程的两个线性无
关的解,xe是非齐次方程的一个特解,故y 求微分方程的通解,从而有
?xex?C1e2x?C2e?x是所
y??ex?xex?2C1e2x?C2e?x, y???2ex?xex?4C1e2x?C2e?x
消去C1,C2,得所求的微分方程为
06高数B
y???y??2y?ex?2xex
一、填空题(共30分 每小题3分)
1.
xoy坐标面上的双曲线4x2?9y2?36绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
4x2?9(y2?z2)?36.
22.设函数f(x,y,z)?2x?yz?z,则gradf(1,0,?1)?(2,?1,?2).
?x?3t?x?2y?4z?3.直线L1:. ??与直线L2:?y??1?3t的夹角为
2?2?53?z?2?7t?4. 设?是曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的区域积分,则
2?12?r2r???f(x,y,z)dv化为柱面
?坐标系下的三次积分形式是 5. 设L是圆周y?
?0d??rdr?0f(rcos?,rsin?,z)dz .
L2x?x2,取正向,则曲线积分??ydx?xdy?
2??.
(?1)n?1xn 6. 幂级数?的收敛半径
nn?1R?1.
高等数学 下册 期末复习试题及答案
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