一、填空题（共21分 每小题3分）
?z?y2?1221．曲线?绕z轴旋转一周生成的旋转曲面方程为z?x?y?1．
?x?0?x?3t?x?2y?4z?2．直线L1:． ??与直线L2:?y??1?3t的夹角为
2?2?53?z?2?7t?2223．设函数f(x,y,z)?x?2y?3z，则gradf(1,1,1)?{2,4,6}．
4．设级数
un??un收敛，则nlim??n?1?0．
?0,???x?05．设周期函数在一个周期内的表达式为f(x)?? 则它的傅里叶级数在x??处
?1?x,0?x??,收敛于
1??2．
6．全微分方程ydx?xdy?0的通解为
xxy?C．
7．写出微分方程y???y??2y?e的特解的形式
y*?axex．
二、解答题（共18分 每小题6分）
?x?2y?z?3?01．求过点(1,?2,1)且垂直于直线?的平面方程．
?x?y?z?2?0???ijk??解：设所求平面的法向量为n，则n?1?21??1,2,3? (4分)
11?1所求平面方程为 x?2y?3z?0 (6分) 2．将积分
???f(x,y,z)dv化为柱面坐标系下的三次积分，其中?是曲面
? z?2?(x?y)及z?222x2?y2所围成的区域．
解： ?: r?z?2?r, 0?r?1, 0???2? (3分)
????f(x,y,z)dv??d??rdr?002?12?r2rf(rcos?,rsin?,z)dz (6分)
3．计算二重积分I???eD?(x2?y2)dxdy，其中闭区域D:x2?y2?4.
解 I??02?d??e02?r22?r212?1?42rdr???0d??0ed(?r)???2??0de?r??(1?e)
2222 三、解答题（共35分 每题7分）
221．设z?ue，而u?x?y，v?xy，求dz．
v解：
?z?z?u?z?v?????ev?2x?uev?y?exy(2x?x2y?y3) ?x?u?x?v?x(3分)
?z?z?u?z?v?????ev?2y?uev?x?exy(2y?x3?xy2) (6分) ?y?u?y?v?ydz?exy(2x?x2y?y3)dx?exy(2y?x3?xy2)dy (7分)
z2．函数z?z(x,y)由方程e?xyz?0所确定，求
?z?z,． ?x?y解：令F(x,y,z)?e?xyz， (2分)
z则 Fx??yz, Fy??xz, Fz?e?xy, (5分)
zFy?zxzFx?zyz???z ， ． (7分) ???z?yFze?xy?xFze?xy3．计算曲线积分向弧段．
解：添加有向辅助线段OA，有向辅助线段OA与有向弧段OA围成的闭区域记为D，根据格林
公式
?L?ydx?xdy，其中L是在圆周y?2x?x2上由A(2,0)到点O(0,0)的有
?L?ydx?xdy???2dxdy??OA?ydx?xdy (5分)
D ?2?4．设曲线积分求f(x)．
?2?0?? (7分)
?L[ex?f(x)]ydx?f(x)dy与路径无关，其中f(x)是连续可微函数且满足f(0)?1，
?P?Qx?解： 由 得 e?f(x)?f?(x)， ?y?x即f?(x)?f(x)?e (3分)
?(?1)dx(ex?e??dxdx?C)?ex(x?C)， (6分) 所以 f(x)?e?x? 代入初始条件，解得C?1，所以f(x)?e(x?1)． (7分)
x(n!)25．判断级数?的敛散性．
n?1(2n)!?un?1[(n?1)!]2?lim解： 因为 limn??un??(2n?2)!n(n!)2 (3分) (2n)!1(n?1)2??1 (6分) ?limn??(2n?2)(2n?1)4故该级数收敛． (7分)
四、（7分）计算曲面积分??xdydz?ydzdx?zdxdy，其中?是上半球
?面z?1?x?y的上侧．
解：添加辅助曲面?1:z?0,x?y?1，取下侧，则在由?1和?所围成的空间闭区域?上应用高斯公式得
2222??xdydz?ydzdx?zdxdy???xdydz?ydzdx?zdxdy
????1 ???xdydz?ydzdx?zdxdy (4分)
?1 ?3???dv?0 (6分)
? ?3?14??2?． (7分) ?23 五、（6分）在半径为R的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．
解：设三角形各边所对圆心角分别为x,y,z，则x?y?z?2?， 且面积为A?12R(sinx?siny?sinz)， 2 令F?sinx?siny?sinz??(x?y?z?2?) (3分)
?Fx?cosx???0?F?cosy???02??y由 ? (4分)得x?y?z?．此
3?Fz?cosz???0??x?y?z?2?时，其边长为2?3R?3R． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三2角形时其面积最大． (6分)
xn六、（8分）求级数?的收敛域，并求其和函数．
n?1n?解： R?limn??an(n?1)?lim?1，故收敛半径为R?1． (2分) an?1n??n当x??1时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当x?1时， 级数为调和级数，发散．
故原级数的收敛域为[?1,1)． (5分)
xn设和为S(x)，即S(x)??，求导得
n?1n?S?(x)??xn?1?n?1?1， (6分) 1?x再积分得 S(x)??0S?(x)dx
1dx??ln(1?x)，(?1?x?1) (8分) 01?xxx??七、（5分）设函数f(x)在正实轴上连续，且等式
?1xyf(t)dt?y?f(t)dt?x?f(t)dt
11xy对任何x?0,y?0成立．如果f(1)?3，求f(x)． 解：等式两边对y求偏导得
xf(xy)??f(t)dt?xf(y) (2分)
1x上式对任何x?0,y?0仍成立．令y?1，且因f(1)?3，故有
xf(x)??f(t)dt?3x． (3分)
1x由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得
xf?(x)?f(x)?f(x)?3 即f?(x)?3x(x?0)．
故通解为 f(x)?3lnx?C．当x?1时，f(1)?3，故C?3． 因此所求的函数为 f(x)?3(lnx?1)． 八． （5分）已知y1 (5分)
?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x
2x 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知e与e?x是对应齐次方程的两个线性无
关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 将yxy???y??2y?f(x)
?xex代入上式，得f(x)?ex?2xex，因此所求的微分方程为
y???y??2y?ex?2xex
2x
解2：由线性微分方程解的结构定理知ex与e?x是对应齐次方程的两个线性无
关的解，xe是非齐次方程的一个特解，故y 求微分方程的通解，从而有
?xex?C1e2x?C2e?x是所
y??ex?xex?2C1e2x?C2e?x， y???2ex?xex?4C1e2x?C2e?x
消去C1,C2，得所求的微分方程为
06高数B
y???y??2y?ex?2xex
一、填空题（共30分 每小题3分）
1．
xoy坐标面上的双曲线4x2?9y2?36绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
4x2?9(y2?z2)?36．
22．设函数f(x,y,z)?2x?yz?z，则gradf(1,0,?1)?(2,?1,?2)．
?x?3t?x?2y?4z?3．直线L1:． ??与直线L2:?y??1?3t的夹角为
2?2?53?z?2?7t?4. 设?是曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的区域积分，则
2?12?r2r???f(x,y,z)dv化为柱面
?坐标系下的三次积分形式是 5. 设L是圆周y?
?0d??rdr?0f(rcos?,rsin?,z)dz ．
L2x?x2，取正向，则曲线积分??ydx?xdy?
2??．
(?1)n?1xn 6. 幂级数?的收敛半径
nn?1R?1．
高等数学 下册 期末复习试题及答案
