1.2 函数的极值
第1课时 利用导数求函数极值(点)
课时过关·能力提升
1.若函数y=f(x)可导,则“f'(x)=0有实根”是“f(x)有极值”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 答案:A
2.若函数f(x)=x·2x在x0处有极小值,则x0等于( ) A.ln2
B.?
C.-ln 2 D.ln 2
解析:y'=x·2x·ln 2+2x=2x(x·ln 2+1). 令y'=0,解得x=?ln2. 答案:B
3.下列结论中,正确的是( ) A.导数为0的点一定是极值点
B.已知f(x)在x=x0处可导,如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极大值 C.已知f(x)在x=x0处可导,如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,那么f(x0)是极小值 D.已知f(x)在x=x0处可导,如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极大值
1
1
1
ln2
解析:根据极值的概念,在x0左侧f'(x)>0,f(x)此时递增;在x0右侧f'(x)<0,f(x)此时递减,f(x0)为极大值. 答案:B
4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像.下列说法错误的是( )
A.-2是函数y=f(x)的极小值点 B.1是函数y=f(x)的极值点
C.y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零 D.y=f(x)在区间(-2,2)上是增加的
解析:由图像可知f'(1)=0,但是当-2
5.函数f(x)=sin x+2,??∈(0,π)的极大值是( ) A.
√32
??
+6 √3πB.?+ 23π
C.
√32
+3 πD.1+
4π
解析:f'(x)=cos x+,??∈(0,π),
2
1
由f'(x)=0,得cos x=?2,解得x=且当x∈(0,
2π
2π3
12π3
.
)时,f'(x)>0;
当x∈(3,π)时,f'(x)<0, 故当x=
2π3
时,f(x)有极大值??(3)=
2π
√32
+3.
π
答案:C
6.对于函数f(x)=x3-3x2,给出下列四个命题:
①f(x)是增加的,无极值; ②f(x)是减少的,有极值;
③f(x)在区间(-∞,0),(2,+∞)内是增加的; ④f(x)有极大值0,极小值-4.
其中正确命题的序号为 .
解析:f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0,此时函数f(x)是增加的; 当x∈(0,2)时,f'(x)<0,此时函数f(x)是减少的; 当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)是增加的. 所以当x=0时,f(x)有极大值f(0)=0; 当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-4. 故③④正确. 答案:③④
7.如图是y=f(x)导数的图像,对于下列四种说法:
①f(x)在[-2,-1]上是增加的; ②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在[-1,2]上是增加的,在[2,4]上是减少的; ④3是f(x)的极小值点.
其中正确的是 .(填序号)
解析:根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断. 答案:②③
8.函数y=sin x+cos x在[0,π]上的极大值为 . 解析:∵y=sin x+cos x,
∴y'=cos x-sin x. 令y'=0,则x=4.
π
∴当x在[0,π]上变化时.
f'(x)和f(x)在[0,π]上的变化情况如下表: x f'(x) f(x) + ↗ ??[0,) 40 √2 ?? 4- ↘ ??(,??] 4由表可知在[0,π]上极大值为√2. 答案:√2 9.求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5;(2)f(x)=
ln????
.
解:(1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f'(x)=3x2-6x-9. 解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-∞,-1) + ↗ -1 0 10 (-1,3) - ↘ 3 0 -22 (3,+∞) + ↗ 因此,x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10;x=3是函数的极小值点, 极小值为f(3)=-22. (2)函数f(x)=
ln????
的定义域为(0,+∞),且f'(x)=
1-ln????2
,令f'(x)=0,得x=e.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:
x f'(x) f(x) (0,e) + ↗ e 0 1 ??1(e,+∞) - ↘ 因此,x=e是函数的极大值点,极大值为f(e)=e,没有极小值.
10.★设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f'(x),若函数y=f'(x)的图像关于直线x=?2对称,且??′(1)=0. (1)求实数a,b的值; (2)求函数f(x)的极值. 解:(1)因为f(x)=2x3+ax2+bx+1, 所以f'(x)=6x2+2ax+b. 从而f'(x)=6(??+6)+???
??2
??26
1
,
??
即y=f'(x)的图像关于直线x=?6对称. 由题设条件,知?6=?2,解得a=3. 又因为f'(1)=0,所以6+2a+b=0,解得b=-12. (2)由(1),知f(x)=2x3+3x2-12x+1, f'(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 令f'(x)=0,即6(x-1)(x+2)=0, 解得x1=-2,x2=1.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (-∞,-2) + ↗ -2 0 21 (-2,1) - ↘ 1 0 -6 (1,+∞) + ↗ ??
1
由表可知,函数f(x)在x1=-2处取得极大值f(-2)=21,在x2=1处取得极小值f(1)=-6.
同步北师大版数学选修1-1练习：第四章 §1 1.2 第1课时 利用导数求函数极值(点)
