C.2 D.4
3
[解析] y′=2x,则切线k=y′|x=a=2a,∴切线y-a2=2a(x-a1
a),令x=0,则y=-a2,令y=0,则x=2,∴S△=4a3=2,则a=2(a>0).
[答案] A
2.给出下列函数:
1
①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)=log2x;④f(x)=sinx.
?1??3??1??3?
则满足关系式f′?2?>f?2?-f?2?>f′?2?的函数的序号是( )
????
??
??
A.①③ C.①③④
B.②④ D.②③④
?1??3??3?13????[解析] f′2,f′2表示f(x)在点x=2,x=2处切线的斜率,f?2???????
?3??1?
f?2?-f?2?
??
?1???-f?2?=3??
13
x=2连线的斜率,画出①函数1表示f(x)在两点x=2,
2-2
的图象.
?1??3??1??3???????由图象的变化趋势可以看出f′2>f2-f2>f′?2?同理作出②????????
③④中函数图象,观察变化趋势可知③④满足题意.
[答案] C
3.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln(x),则f′(1)=( )
A.-e C.1
B.-1 D.e
1
[解析] f′(x)=2f′(1)+x,令x=1,则f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1,选B.
[答案] B
5π??sinθ3cosθ2
4.设函数f(x)=3x+32x+tanθ,其中θ∈?0,12?,则导
??数f′(1)的取值范围是( )
A.[-2,2] C.[3,2]
B.[2,3] D.[2,2]
[解析] f′(x)=(sinθ)x2+3(cosθ)x,f′(1)=sinθ+3cosθ=π??5πππ3π
2sin?θ+3?,∵0≤θ≤12,∴3≤θ+3≤4,则2≤f′(1)≤2,选D.
??
[答案] D
5.正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角αl的取值范围是__________.
π??
[解析] 由题意k=cosx,则-1≤k≤1,又k=tanα,∴α∈?0,4?
??
?3π?
??. ,π∪4??
π??3π??
[答案] ?0,4?∪?4,π?
????
1
6.设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=x(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为__________.
[解析] y′=ex,则在点(0,1)处的切线k1=y′|x=0=e0=1,则y-1-11
=x(x>0),在点P处的k=-1,又y′=x2,令x2=-1,则x2=1
1(x>0),∴x=1,∴P点的横坐标为1,则纵坐标y=1=1,∴点P(1,1).
[答案] (1,1)
7.已知曲线y=x+lnx在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=__________.
1
[解析] y′=1+x,∴k=y′|x=1=2,则切线y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,联立方程组
?
?2x-y-1=0,?
y=ax2+?a+2?x+1有且只有一解,∴ax2+ax
+2=0有且只有一个根,即Δ=0,所以a=0(舍),或a=8.
[答案] 8
ax-6
8.已知函数f(x)=2的图象在点M(-1,f(-1))处的切线的
x+b方程为x+2y+5=0,求函数的解析式.
[解] 由于(-1,f(-1))在切线上, 所以-1+2f(-1)+5=0, 所以f(-1)=-2.
a?x2+b?-2x?ax-6?
因为f′(x)=, 22
?x+b?
?-a-6=-2,?1+b所以?
a?1+b?+2?-a-6?1
=-2,??1+b??
2
2x-6
解得a=2,b=3(因为b+1≠0,所以b=-1舍去).故f(x)=2. x+39.偶函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e的图象过点P(0,1),且在x=1处的切线方程为y=x-2,求y=f(x)的解析式.
[解] 因为f(x)的图象过点P(0,1), 所以e=1.又因为f(x)为偶函数, 所以f(-x)=f(x).
故ax4+bx3+cx2+dx+e=ax4-bx3+cx2-dx+e.所以b=0,d=0.
所以f(x)=ax4+cx2+1.
因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=x-2,所以可得切点为(1,-1),
所以a+c+1=-1.①
因为f′(1)=(4ax3+2cx)|x=1=4a+2c, 所以4a+2c=1.②
59
由①②联立得a=2,c=-2,
5492
所以函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x-2x+1.
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15
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