C.2 D.4
3
[解析] y′＝2x，则切线k＝y′|x＝a＝2a，∴切线y－a2＝2a(x－a1
a)，令x＝0，则y＝－a2，令y＝0，则x＝2，∴S△＝4a3＝2，则a＝2(a>0)．
[答案] A
2．给出下列函数：
1
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝log2x；④f(x)＝sinx.
?1??3??1??3?
则满足关系式f′?2?>f?2?－f?2?>f′?2?的函数的序号是( )
????
??
??
A．①③ C．①③④
B．②④ D．②③④
?1??3??3?13????[解析] f′2，f′2表示f(x)在点x＝2，x＝2处切线的斜率，f?2???????
?3??1?
f?2?－f?2?
??
?1???－f?2?＝3??
13
x＝2连线的斜率，画出①函数1表示f(x)在两点x＝2，
2－2
的图象．
?1??3??1??3???????由图象的变化趋势可以看出f′2>f2－f2>f′?2?同理作出②????????
③④中函数图象，观察变化趋势可知③④满足题意．
[答案] C
3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln(x)，则f′(1)＝( )
A．－e C．1
B．－1 D．e
1
[解析] f′(x)＝2f′(1)＋x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1，选B.
[答案] B
5π??sinθ3cosθ2
4．设函数f(x)＝3x＋32x＋tanθ，其中θ∈?0，12?，则导
??数f′(1)的取值范围是( )
A．[－2,2] C．[3，2]
B．[2，3] D．[2，2]
[解析] f′(x)＝(sinθ)x2＋3(cosθ)x，f′(1)＝sinθ＋3cosθ＝π??5πππ3π
2sin?θ＋3?，∵0≤θ≤12，∴3≤θ＋3≤4，则2≤f′(1)≤2，选D.
??
[答案] D
5．正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角αl的取值范围是__________．
π??
[解析] 由题意k＝cosx，则－1≤k≤1，又k＝tanα，∴α∈?0，4?
??
?3π?
??. ，π∪4??
π??3π??
[答案] ?0，4?∪?4，π?
????
1
6．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝x(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为__________．
[解析] y′＝ex，则在点(0,1)处的切线k1＝y′|x＝0＝e0＝1，则y－1－11
＝x(x>0)，在点P处的k＝－1，又y′＝x2，令x2＝－1，则x2＝1
1(x>0)，∴x＝1，∴P点的横坐标为1，则纵坐标y＝1＝1，∴点P(1,1)．
[答案] (1,1)
7．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝__________.
1
[解析] y′＝1＋x，∴k＝y′|x＝1＝2，则切线y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，联立方程组
?
?2x－y－1＝0，?
y＝ax2＋?a＋2?x＋1有且只有一解，∴ax2＋ax
＋2＝0有且只有一个根，即Δ＝0，所以a＝0(舍)，或a＝8.
[答案] 8
ax－6
8．已知函数f(x)＝2的图象在点M(－1，f(－1))处的切线的
x＋b方程为x＋2y＋5＝0，求函数的解析式．
[解] 由于(－1，f(－1))在切线上， 所以－1＋2f(－1)＋5＝0， 所以f(－1)＝－2.
a?x2＋b?－2x?ax－6?
因为f′(x)＝， 22
?x＋b?
?－a－6＝－2，?1＋b所以?
a?1＋b?＋2?－a－6?1
＝－2，??1＋b??
2
2x－6
解得a＝2，b＝3(因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去)．故f(x)＝2. x＋39．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求y＝f(x)的解析式．
[解] 因为f(x)的图象过点P(0,1)， 所以e＝1.又因为f(x)为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)．
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.所以b＝0，d＝0.
所以f(x)＝ax4＋cx2＋1.
因为函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，所以可得切点为(1，－1)，
所以a＋c＋1＝－1.①
因为f′(1)＝(4ax3＋2cx)|x＝1＝4a＋2c， 所以4a＋2c＝1.②
59
由①②联立得a＝2，c＝－2，
5492
所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x－2x＋1.
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 课时跟踪训练15
