1.2.2 同角三角函数的基本关系
学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.
知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin30°＋cos30°； (2)sin45°＋cos45°； (3)sin90°＋cos90°.
由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：
对于任意角α，有sinα＋cosα＝1，下面用三角函数的定义证明：
设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝
2
2
2
2
2
2
2
2
x.
∴sinα＋cosα＝x＋y＝|OP|＝1.
思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？
2
2
2
2
2
ysin α答案 ∵tan α＝，∴tan α＝.
xcos α梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sinα＋cosα＝1.
sin απ
②商数关系：tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z).
cos α2(2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sinα＋cosα＝1的变形公式 sinα＝1－cosα；cosα＝1－sinα. sin α②tan α＝的变形公式
cos αsin αsin α＝cos αtan α；cos α＝.
tan α2
2
2
2
2
2
2
2
类型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值
1
5
例1 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值为( )
13121255A. B.－ C. D.－ 551212答案 D
512解析 ∵sin α＝－，且α为第四象限角，∴cos α＝，
1313sin α5
∴tan α＝＝－，故选D.
cos α12
反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负.
4
跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值.
3sin α44
解 由tan α＝＝，得sin α＝cos α.
cos α33又sinα＋cosα＝1，
2
2
②
①
169222
由①②得cosα＋cosα＝1，即cosα＝.
925又α是第三象限角，
344
∴cos α＝－，sin α＝cos α＝－.
535
命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 8
例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值.
178
解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，
17∴α是第二或第三象限角. (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cosα＝
2
?8?2151－?－?＝， ?17?17
15
sin α1715
tan α＝＝＝－.
cos α88
－17(2)当α是第三象限角时，则
15152
sin α＝－1－cosα＝－，tan α＝.
178
2
反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解. 跟踪训练2 已知cos α＝－5
13，求13sin α＋5tan α的值.
解 方法一 ∵cos α＝－
5
13
<0， ∴α是第二或第三象限角. (1)若α是第二象限角， 则sin α＝1－cos2
α ＝
1－?－513?2＝12
13
，
12
tan α＝sin α1312
cos α＝＝－，
－55
13
故13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×(－12
5)＝0.
(2)若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos2
α＝－ 1－?－5212
13?＝－13
，
12
tan α＝sin α－
cos α＝13＝12，－55
13
故13sin α＋5tan α＝13×(－1212
13)＋5×5＝0.
综上可知，13sin α＋5tan α＝0. 方法二 ∵tan α＝sin αcos α，
∴13sin α＋5tan α＝13sin α(1＋51
13·cos α)
＝13sin α[1＋513
13×(－5)]＝0.
类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角，化简： 1＋sin α1－sin α1－sin α－
1＋sin α. 解 原式＝ ?1＋sin α??1＋sin α?
?1－sin α??1－sin α?
?1＋sin α??1－sin α?
－ ?1＋sin α??1－sin α?
＝ ?1＋sin α?
22－ ?1－sin α?1－sin2
α1－sin2
α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|
.
3
∵α是第三象限角，∴cos α＜0.
1＋sin α1－sin α∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号).
－cos α－cos α反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：
(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.
(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sinα＋cosα＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
cos 36°－1－cos36°跟踪训练3 化简：(1)；
1－2sin 36°cos 36°1
(2)2－ 2
cosα1＋tanα解 (1)原式＝ ＝ 1＋sin α(α为第二象限角).
1－sin αcos 36°－ sin36°
22
2
2
22
sin36°＋cos36°－2sin 36°cos 36°
2
cos 36°－sin 36°?cos 36°－sin 36°?
＝
cos 36°－sin 36°
|cos 36°－sin 36°|
＝
cos 36°－sin 36°
＝1.
cos 36°－sin 36°
(2)∵α是第二象限角，∴cos α＜0， 则原式＝
2
cosα 1＝ 2
cos α＝
1
－ 2sinα1＋2
cosα2?1＋sin α?
2
1－sinα2cos α1＋sin α－ 22
cosα＋sinα|cos α|
－cos α1＋sin α－1＋1＋sin αsin α＋＝＝＝tan α. 2cosαcos αcos αcos α类型三 利用同角三角函数关系证明
tan αsin αtan α＋sin α例4 求证：＝. tan α－sin αtan αsin αtanα－sinα证明 ∵右边＝
?tan α－sin α?tan αsin αtanα－tanαcosαtanα?1－cosα?
＝＝ ?tan α－sin α?tan αsin α?tan α－sin α?tan αsin αtanαsinαtan αsin α＝＝＝左边， ?tan α－sin α?tan αsin αtan α－sin α
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
∴原等式成立.
反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简. (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一). (3)比较法：即证左边－右边＝0或左边右边
＝1(右边≠0).
(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立. 跟踪训练4 求证：cos x1＋sin x1－sin x＝cos x.
证明 方法一 (比较法——作差) 2
2
∵cos x1＋sin xcosx－?1－sinx?
1－sin x－cos x＝?1－sin x?cos x cos2
x2
＝－cosx?1－sin x?cos x＝0， ∴
cos x11－sin x＝＋sin xcos x. 方法二 (比较法——作商)
cos x∵左1－sin xcos x·cos 右＝1＋sin x＝x?1＋sin x??1－sin x?
cos x2
2
＝cosxcosx1－sin2x＝cos2x＝1. ∴
cos x1＋sin 1－sin x＝xcos x. 方法三 (综合法)
∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sin2
x＝cos2
x＝cos x·cos x， ∴
cos x1＋sin 1－sin x＝xcos x. 类型四 齐次式求值问题
例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值.
(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin2α＋1123sin αcos α＋2cosα. 解 (1)原式＝4tan α－265＋3tan α＝11
.
1sin2α＋112(2)原式＝43sin αcos α＋2
cosαsin2α＋cos2
α 5
高中数学人教A版第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案新必修4_160
