第一章 导数及其应用
一， 导数的概念 1..已知f(x)?1,则f(2??x)?f(2)x?limx?0?x的值是（ ）
A. ?14 B. 2 C. 14 D. －2
变式1：设f??3??4,则limf?3?h??f?3?h为（ ）
h?02
A．－１
Ｂ．－2 C．－3
D．1 变式2：设f?x?在xf?x0??x??f?x0?3?x?0可导,则lim
（ ）
?0?x等于 ?x A．2f??x0? B．f??x0?
C．3f??x0?
D．4f??x0?
导数各种题型方法总结
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；
1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f'(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：
第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0）
第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为
主元）；
（请同学们参看2010省统测2）
例1：设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x)，f?(x)在区间D上的导数为g(x)，若在区间D上，g(x)?0恒成立，则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”，已知实数m是常
数，f(x)?x4mx33x212?6?2 （1）若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”，求m的取值范围；
（2）若对满足m?2的任何一个实数m，函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”，求b?a的最大值.
解:由函数f(x)?x412?mx36?3x2x32 得f?(x)?3?mx22?3x ?g(x)?x2?mx?3
（1）
y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”
， 则 ?g(x)?x2?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立
解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于gmax(x)?0
??g(0)?0?g(3)?0?????30??9m3??3?0m?2
解法二：分离变量法：
∵ 当x?0时, ?g(x)?x2?mx?3??3?0恒成立, 当0?x?3时, g(x)?x2?mx?3?0恒成立
等价于m?x2?3x?x?3x的最大值（0?x?3）恒成立， 而h(x)?x?3x（0?x?3）是增函数，则hmax(x)?h(3)?2
?m?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x2?mx?3?0 恒成立
变更主元法
再等价于F(m)?mx?x2?3?0在m?2恒成立（视为关于
m的一次函数最值
问题）
1
???F(?2)?0?F(2)?0?????x2?x2??3??0?1?x?1 ?2x?x2?3?0 ?b?a?2
例2：设函数-2 f(x)??2 13x3?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立，求a的取值范围.
（二次函数区间最值的例子）
解：（Ⅰ）f?(x)??x2?4ax?3a2???x?3a??x?a?
0?a?1
f?(x) a 3a a 3a
令f?(x)?0,得f(x)的单调递增区间为（a,3a） 令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为（－?，a）和（3a，+?）
∴当x=a时，f(x)极小值=?34a3?b; 当x=3a时，f(x)极大值=b.
（Ⅱ）由|f?(x)|≤a，得：对任意的x?[a?1,a?2],?a?x2?4ax?3a2?a恒成立①
则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a?g g(x)?x2?4ax?3a2的对称轴x?2amin(x)??a0?a?1, a?1?a?a?2a（放缩法）
即定义域在对称轴的右边，g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。
g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.
?a?1,a?2?
x?2a ∴
g(x)max?g(a?2)??2a?1.g(x)min?g(a?1)??4a?4.
于是，对任意x?[a?1,a?2]，不等式①恒成立，等价于
??g(a?2)??4a?4?a,?g(a?1)??2a?1??a解得45?a?1. 又0?a?1,∴
45?a?1. 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系
第三种：构造函数求最值
题型特征：f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立；从而转化为第一、二种题型
例3；已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3，
g(x)?x3?t?62x2?(t?1)x?3(t?0) （Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）当x?[?1,4]时，求f(x)的值域；
（Ⅲ）当x?[1,4]时，不等式f(x)?g(x)恒成立，求实数t的取值范围。 解：（Ⅰ）f/(x)?3x2?2ax∴??f/(1)??3， 解得?a??3?b?1?a??b??2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)在[?1,0]上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]
（Ⅲ）令h(x)?f(x)?g(x)??t2x2?(t?1)x?3x?[1,4]
思路1：要使f(x)?g(x)恒成立，只需h(x)?0，即t(x2?2x)?2x?6分离变量
思路2：二次函数区间最值
（9分）
2
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1：转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；
做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b）”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集
例4：已知a?R，函数f(x)?112x3?a?12x2?(4a?1)x． （Ⅰ）如果函数g(x)?f?(x)是偶函数，求f(x)的极大值和极小值； （Ⅱ）如果函数f(x)是(??,??)上的单调函数，求a的取值范围．
解：f?(x)?14x2?(a?1)x?(4a?1).
（Ⅰ）∵ f?(x)是偶函数，∴ a??1. 此时f(x)?13112x?3x，f?(x)?4x2?3，
令
f?(x)?0，解得：x??23.
列表如下：
x (－∞,－23) －23 (－23,23) 23 (23,+∞) f?(x) + 0 － 0 + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知：
f(x)的极大值为f(?23)?43，
f(x)的极小值为f(23)??43. （Ⅱ）∵函数
f(x)是(??,??)上的单调函数，
∴
f?(x)?14x2?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间R上恒成立判别式法 则??(a?1)2?4?124?(4a?1)?a?2a?0， 解得：0?a?2.
综上，a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?13x3?12(2?a)x2?(1?a)x(a?0). （I）求f(x)的单调区间；
（II）若f(x)在[0，1]上单调递增，求a的取值范围。子集思想 （I）f?(x)?x2?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a).
1、当a?0时,f?(x)?(x?1)2?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号，f(x)在(??,??)单调递增。 2、当a?0时,由f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
f?(x) 单调增区间：(??,?1)a,(?1,?? 单调增区间：(?1,a?1) -1 a-1 （II）当
f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区
间的子集：
1、a?0时，f(x)在(??,??)单调递增 符合题意
2、?0,1???a?1,???，?a?1?0 ?a?1
综上，a的取值范围是[0，1]。
三、题型二：根的个数问题 题1函数 f(x)与g(x)（或与x轴）的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；
第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可；
3
导数各类题型方法总结(绝对经典)
