（全国卷Ⅲ）2020年高考数学压轴卷 文（含解析）
? 注意事项：
? 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
? 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合A?x(x?1)(x?4)?0，B?xlog2x?2，则A?B?（ ） A. ??2,4?
B. 1,???
?????C. ?0,4 ?D.??2,???
22.若复数z满足z(1?i)?i（i是虚数单位），则z为（ ）
A.
1111 B. C. D. 34523．已知单位向量，满足⊥，则?（﹣）＝（ ） A．0 4.将函数为（ ） A.
B.
C.
D.
B．
C．1
D．2 的图象，则
的解析式
的图象向左平移个单位，得到函数
5．已知x?log32＝1，则4x＝（ ） A．4
B．6 C．4
D．9
6．在△ABC中，若sinB＝2sinAcosC，那么△ABC一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，
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在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a,b分别为3，则输出的n?1，（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知等比数列?an?中，公比为q，a2?3，且?1，q，7成等差数列，又bn?log3an，数列?bn?的前n项和为Tn，则T9?（ ） A. 36
B. 28
C. 45
D. 32
29.设函数f(x)?alnx?bx(a?0,b?0)，若函数f(x)的图象在x?1处的切线与直线
x?y?2e?0平行，则
11?的最小值为（ ） abA. 1 B.
1 C. 3?22 2D. 3?22
）的最小正周期为π，且关于
10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，
中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（0）＜f（2） C．f（2）＜f（0）＜f（1）
B．f（0）＜f（2）＜f（1） D．f（2）＜f（1）＜f（0）
2
12y2x211.已知抛物线y?x的焦点F是椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点，且该抛物线的
4ab准线与椭圆相交于A、B两点，若?FAB是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. 3?1
B. 2?1
C.
3 3D. 2 212. 定义在R上的可导函数f(x)满足f(2?x)?f(x)?2x?2，记f(x)的导函数为f?(x)，当
x≤1时恒有f?(x)?1．若f(m)?f(1?2m)≥3m?1，则m的取值范围是
A．(??,?1]
1B．(?,1]
3 C．[?1,??)
1D．[?1,]
3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
113.求值：log315?log325?_________．
2?x≥0，?14．已知x，y满足?x?y≥4，若x?2y的最小值为_________．
?x?2y≤1.??1?nSS?2a?1{a}15、已知数列n的前项和为n，且n，则数列??的前6项和为_____. n?an?16、已知正三棱锥互垂直，则球心到截面
，点、、、都在半径为的距离为__________．
球面上，若
、
、
两两相
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17．（12分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值 [60，75） [75，90） [90，105） [105，120） 合计 （1）求a，b，n；
等级 三等品 二等品 一等品 特等品 频数 10 30 a 20 n 的频率 0.1 b 0.4 0.2 1 3
（2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，求至少有1件特等品被抽到的概率．
18.（12分）
已知数列?an?满足
123nn???L?? 2a1?52a2?52a3?52an?53（1）求数列?an?的通项公式；
?1?（2）设数列??的前n项和为Tn,求Tn.
aa?nn?1?
19．(12分)
将棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1截去三棱锥D1?ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点.
（1）求证OB//平面ACD1； （2）求几何体ACB1A1D1的体积.
20．（12分）中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线C:x?4y的焦点关于直线y?x对
2称，且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为?2,0?. （I）求椭圆E的标准方程；
（II）过点?0,?2?的直线l（直线的斜率k存在且不为0）交E于A，B两点，交x轴于点
P点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x轴于点Q.试探究|OP|?|OQ|是否为定值？请说
明理由.
21．（12分）已知函数f(x)?x?ax?2lnx．
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（I）当a?5时，求f(x)的单调区间； （II）若f(x)有两个极值点x1,x2,且的底数）．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
11?x1??x2，求a取值范围．（其中e为自然对数3e?2x?t??222.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），以原点O?y??1?2t?2?2为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为??4.
1?sin2?（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
uuuruuur（2）设P（0，-1），直线l与C的交点为M，N，线段MN的中点为Q，求OP?OQ.
23.已知函数f(x)?x?2． （1）解不等式：f(x)?4?f(x?1) （2）若函数g(x)?x?3,(x?4)与函数y?m?f(x)?2f(x?2)的图象恒有公共点，求
实数m的取值范围．
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(全国卷Ⅲ)2020年高考数学压轴卷文(含解析)
