(全国卷Ⅲ)2020年高考数学压轴卷 文(含解析)
? 注意事项:
? 答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
? 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合A?x(x?1)(x?4)?0,B?xlog2x?2,则A?B?( ) A. ??2,4?
B. 1,???
?????C. ?0,4 ?D.??2,???
22.若复数z满足z(1?i)?i(i是虚数单位),则z为( )
A.
1111 B. C. D. 34523.已知单位向量,满足⊥,则?(﹣)=( ) A.0 4.将函数为( ) A.
B.
C.
D.
B.
C.1
D.2 的图象,则
的解析式
的图象向左平移个单位,得到函数
5.已知x?log32=1,则4x=( ) A.4
B.6 C.4
D.9
6.在△ABC中,若sinB=2sinAcosC,那么△ABC一定是( )
A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 7.宋元时期,中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝世杰﹞四大家”,朱世杰就是其中之一.朱世杰是一位平民数学家和数学教育家.朱世杰平生勤力研习《九章算术》,旁通其它各种算法,成为元代著名数学家.他全面继承了前人数学成果,既吸收了北方的天元术,又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀,
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在此基础上进行了创造性的研究,写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》,其中有关于“松竹并生”的问题:松长四尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.如图,是源于其思想的一个程序框图.若输入的a,b分别为3,则输出的n?1,( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知等比数列?an?中,公比为q,a2?3,且?1,q,7成等差数列,又bn?log3an,数列?bn?的前n项和为Tn,则T9?( ) A. 36
B. 28
C. 45
D. 32
29.设函数f(x)?alnx?bx(a?0,b?0),若函数f(x)的图象在x?1处的切线与直线
x?y?2e?0平行,则
11?的最小值为( ) abA. 1 B.
1 C. 3?22 2D. 3?22
)的最小正周期为π,且关于
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,
中心对称,则下列结论正确的是( )
A.f(1)<f(0)<f(2) C.f(2)<f(0)<f(1)
B.f(0)<f(2)<f(1) D.f(2)<f(1)<f(0)
2
12y2x211.已知抛物线y?x的焦点F是椭圆2?2?1(a?b?0)的一个焦点,且该抛物线的
4ab准线与椭圆相交于A、B两点,若?FAB是正三角形,则椭圆的离心率为( ) A. 3?1
B. 2?1
C.
3 3D. 2 212. 定义在R上的可导函数f(x)满足f(2?x)?f(x)?2x?2,记f(x)的导函数为f?(x),当
x≤1时恒有f?(x)?1.若f(m)?f(1?2m)≥3m?1,则m的取值范围是
A.(??,?1]
1B.(?,1]
3 C.[?1,??)
1D.[?1,]
3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
113.求值:log315?log325?_________.
2?x≥0,?14.已知x,y满足?x?y≥4,若x?2y的最小值为_________.
?x?2y≤1.??1?nSS?2a?1{a}15、已知数列n的前项和为n,且n,则数列??的前6项和为_____. n?an?16、已知正三棱锥互垂直,则球心到截面
,点、、、都在半径为的距离为__________.
球面上,若
、
、
两两相
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分。
17.(12分)质量是企业的生命线,某企业在一个批次产品中随机抽检n件,并按质量指标值进行统计分析,得到表格如表:
质量指标值 [60,75) [75,90) [90,105) [105,120) 合计 (1)求a,b,n;
等级 三等品 二等品 一等品 特等品 频数 10 30 a 20 n 的频率 0.1 b 0.4 0.2 1 3
(2)从质量指标值在[90,120)的产品中,按照等级分层抽样抽取6件,再从这6件中随机抽取2件,求至少有1件特等品被抽到的概率.
18.(12分)
已知数列?an?满足
123nn???L?? 2a1?52a2?52a3?52an?53(1)求数列?an?的通项公式;
?1?(2)设数列??的前n项和为Tn,求Tn.
aa?nn?1?
19.(12分)
将棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1截去三棱锥D1?ACD后得到如图所示几何体,O为A1C1的中点.
(1)求证OB//平面ACD1; (2)求几何体ACB1A1D1的体积.
20.(12分)中心在原点的椭圆E的一个焦点与抛物线C:x?4y的焦点关于直线y?x对
2称,且椭圆E与坐标轴的一个交点坐标为?2,0?. (I)求椭圆E的标准方程;
(II)过点?0,?2?的直线l(直线的斜率k存在且不为0)交E于A,B两点,交x轴于点
P点A关于x轴的对称点为D,直线BD交x轴于点Q.试探究|OP|?|OQ|是否为定值?请说
明理由.
21.(12分)已知函数f(x)?x?ax?2lnx.
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(I)当a?5时,求f(x)的单调区间; (II)若f(x)有两个极值点x1,x2,且的底数).
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
11?x1??x2,求a取值范围.(其中e为自然对数3e?2x?t??222.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?(t为参数),以原点O?y??1?2t?2?2为极点,x正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为??4.
1?sin2?(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
uuuruuur(2)设P(0,-1),直线l与C的交点为M,N,线段MN的中点为Q,求OP?OQ.
23.已知函数f(x)?x?2. (1)解不等式:f(x)?4?f(x?1) (2)若函数g(x)?x?3,(x?4)与函数y?m?f(x)?2f(x?2)的图象恒有公共点,求
实数m的取值范围.
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